Theorem 00sr 5220

Description: A signed real times 0 is 0.

Assertion

Ref	Expression
00sr	|- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)

Proof of Theorem 00sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5179	. 2 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3974	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = (A .R 0R))
3	2	eqeq1d 1486	. 2 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R .R 0R) = 0R <-> (A .R 0R) = 0R))
4		1pr 5129	. . . . . 6 |- 1P e. P.
5	4, 4	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1P e. P. /\ 1P e. P.)
6		mulsrpr 5197	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R )
7	5, 6	mpan2 698	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R )
8		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P) = (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P)
9		enreceq 5189	. . . . . . . 8 |- (((((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> ([<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R <-> (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P) = (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) +P. 1P)))
10	8, 9	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (((((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
11		addclpr 5132	. . . . . . . . 9 |- (((x .P. 1P) e. P. /\ (y .P. 1P) e. P.) -> ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.)
12		mulclpr 5134	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. P. /\ 1P e. P.) -> (x .P. 1P) e. P.)
13	4, 12	mpan2 698	. . . . . . . . 9 |- (x e. P. -> (x .P. 1P) e. P.)
14		mulclpr 5134	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. P. /\ 1P e. P.) -> (y .P. 1P) e. P.)
15	4, 14	mpan2 698	. . . . . . . . 9 |- (y e. P. -> (y .P. 1P) e. P.)
16	11, 13, 15	syl2an 456	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.)
17	16, 16	anim12i 333	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> (((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P. /\ ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)) e. P.))
18	10, 17	sylan 450	. . . . . 6 |- ((((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) /\ (1P e. P. /\ 1P e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
19	5, 18	mpan2 698	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
20	19	anidms 436	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> [<.((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P)), ((x .P. 1P) +P. (y .P. 1P))>.] ~R = [<.1P, 1P>.] ~R )
21	7, 20	eqtrd 1510	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R ) = [<.1P, 1P>.] ~R )
22		df-0r 5183	. . . 4 |- 0R = [<.1P, 1P>.] ~R
23	22	opreq2i 3978	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = ([<.x, y>.] ~R .R [<.1P, 1P>.] ~R )
24	21, 23, 22	3eqtr4g 1534	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ([<.x, y>.] ~R .R 0R) = 0R)
25	1, 3, 24	ecoptocl 4309	1 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  [cec 4265  P.cnp 4997  1Pc1p 4998   +P. cpp 4999   .P. cmp 5000   ~R cer 5004  R.cnr 5005  0Rc0r 5006   .R cmr 5010

This theorem is referenced by:  pn0sr 5222  ssgt0sr 5229  mulresr 5269  ax1id 5294  axi2m1 5297  axcnre 5298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-mr 5181  df-0r 5183

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