MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01sqrex Structured version   Unicode version

Theorem 01sqrex 12055
Description: Existence of a square root for reals in the interval  ( 0 ,  1 ]. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
01sqrex  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem 01sqrex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A }  =  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
2 eqid 2436 . . 3  |-  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )
31, 2sqrlem4 12051 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
4 eqid 2436 . . 3  |-  { z  |  E. w  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e.  { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } z  =  ( w  x.  x ) }  =  { z  |  E. w  e.  { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } E. x  e. 
{ y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A }
z  =  ( w  x.  x ) }
51, 2, 4sqrlem7 12054 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )
6 breq1 4215 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x  <_  1  <->  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1 ) )
7 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 ) )
87eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x ^
2 )  =  A  <-> 
( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^
2 )  =  A ) )
96, 8anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  -> 
( ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <->  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) ) )
109rspcev 3052 . . 3  |-  ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  (
y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  1  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
1110anassrs 630 . 2  |-  ( ( ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^ 2 )  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_ 
1 )  /\  ( sup ( { y  e.  RR+  |  ( y ^
2 )  <_  A } ,  RR ,  <  ) ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
123, 5, 11syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   E.wrex 2706   {crab 2709   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   RR+crp 10612   ^cexp 11382
This theorem is referenced by:  resqrex  12056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383
  Copyright terms: Public domain W3C validator