MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0bits Structured version   Unicode version

Theorem 0bits 12951
Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0bits  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)

Proof of Theorem 0bits
StepHypRef Expression
1 c0ex 9085 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21snid 3841 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
3 fzo01 11182 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
42, 3eleqtrri 2509 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
5 2cn 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6 exp0 11386 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
87oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  =  ( 0..^ 1 )
94, 8eleqtrri 2509 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )
10 0z 10293 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
11 0nn0 10236 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
12 bitsfzo 12947 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0
)  C_  ( 0..^ 0 ) ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0 )  C_  ( 0..^ 0 ) )
149, 13mpbi 200 . . 3  |-  (bits ` 
0 )  C_  (
0..^ 0 )
15 fzo0 11159 . . 3  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1614, 15sseqtri 3380 . 2  |-  (bits ` 
0 )  C_  (/)
17 0ss 3656 . 2  |-  (/)  C_  (bits `  0 )
1816, 17eqssi 3364 1  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282  ..^cfzo 11135   ^cexp 11382  bitscbits 12931
This theorem is referenced by:  m1bits  12952  sadcadd  12970  sadadd2  12972  bitsres  12985  smumullem  13004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-dvds 12853  df-bits 12934
  Copyright terms: Public domain W3C validator