MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0bits Unicode version

Theorem 0bits 12721
Description: The bits of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
0bits  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)

Proof of Theorem 0bits
StepHypRef Expression
1 c0ex 8919 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21snid 3743 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
3 fzo01 11002 . . . . . 6  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
42, 3eleqtrri 2431 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0..^ 1 )
5 2cn 9903 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6 exp0 11198 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
87oveq2i 5953 . . . . 5  |-  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  =  ( 0..^ 1 )
94, 8eleqtrri 2431 . . . 4  |-  0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )
10 0z 10124 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
11 0nn0 10069 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
12 bitsfzo 12717 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0
)  C_  ( 0..^ 0 ) ) )
1310, 11, 12mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( 2 ^ 0 ) )  <->  (bits `  0 )  C_  ( 0..^ 0 ) )
149, 13mpbi 199 . . 3  |-  (bits ` 
0 )  C_  (
0..^ 0 )
15 fzo0 10982 . . 3  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1614, 15sseqtri 3286 . 2  |-  (bits ` 
0 )  C_  (/)
17 0ss 3559 . 2  |-  (/)  C_  (bits `  0 )
1816, 17eqssi 3271 1  |-  (bits ` 
0 )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   0cc0 8824   1c1 8825   2c2 9882   NN0cn0 10054   ZZcz 10113  ..^cfzo 10959   ^cexp 11194  bitscbits 12701
This theorem is referenced by:  m1bits  12722  sadcadd  12740  sadadd2  12742  bitsres  12755  smumullem  12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-seq 11136  df-exp 11195  df-dvds 12623  df-bits 12704
  Copyright terms: Public domain W3C validator