MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Unicode version

Theorem 0cld 16775
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 3524 . . 3  |-  ( U. J  \  (/) )  =  U. J
21topopn 16652 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  (/) )  e.  J )
3 0ss 3483 . . 3  |-  (/)  C_  U. J
4 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
54iscld2 16765 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  U. J )  -> 
( (/)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
63, 5mpan2 652 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( (/) 
e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  (/) )  e.  J
) )
72, 6mpbird 223 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  cls0  16817  indiscld  16828  iscldtop  16832  iccordt  16944  iscon2  17140  tgptsmscld  17833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator