Theorem 0cn 5328

Description: 0 is a complex number.

Assertion

Ref	Expression
0cn	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi2m1 5285	. 2 |- ((i x. i) + 1) = 0
2		axicn 5270	. . . 4 |- i e. CC
3	2, 2	mulcl 5321	. . 3 |- (i x. i) e. CC
4		ax1cn 5269	. . 3 |- 1 e. CC
5	3, 4	addcl 5320	. 2 |- ((i x. i) + 1) e. CC
6	1, 5	eqeltrr 1545	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  addid2t 5329  cnegextlem2 5346  addcant 5352  subclt 5367  negclt 5368  subaddt 5375  negidt 5379  negsubt 5382  subid1 5392  negnegt 5393  subidt 5395  subid1t 5396  neg11 5406  neg11t 5409  neg0 5415  renegcl 5416  mul01 5431  mul02 5432  1re 5435  0re 5440  mul01t 5443  mul02t 5444  mulneg1 5445  mulneg1t 5451  mul2negt 5454  negdit 5455  nncant 5469  addge0 5599  add20 5602  recextlem2 5683  mul0or 5694  mul0ort 5696  muleqaddt 5700  divmult 5707  divclt 5712  divcan1t 5724  divcan1tOLD 5725  divcan2tOLD 5727  divne0bt 5728  recne0t 5732  recidt 5735  divrect 5739  divdirt 5750  divdirtOLD 5751  divcan3t 5760  divcan3tOLD 5761  div0t 5767  diveq0t 5768  eqneg 5804  eqnegt 5805  2timest 6004  elnn0 6101  nn0addclt 6120  elznn0 6149  nn0subt 6161  zltp1let 6181  shftval3t 6348  shftidt 6355  seq1seqz 6541  seq0seqz 6542  seq00 6550  0expt 6590  exple1t 6607  sumsqne0 6634  sq0 6635  sqeqort 6649  binom2t 6650  discrlem3 6658  sqr0 6672  sqrlem6 6678  sqrth 6699  crne0 6739  rimul 6744  cjrebt 6800  cjmulrclt 6801  cjmulge0t 6803  renegt 6804  readdt 6805  imnegt 6807  imaddt 6808  cjcjt 6811  cjaddt 6812  cjmult 6813  cjnegt 6814  addcjt 6815  re0 6820  im0 6821  cj0 6826  cjne0t 6831  abs00 6842  absval2t 6852  abs00t 6853  absge0t 6854  absmult 6858  absdivt 6860  abs0 6877  cjdivt 6889  absgt0t 6893  abssubt 6894  abstrit 6898  abs2dift 6902  abs1m 6904  abs3lemt 6907  faclbnd 6945  faclbnd3 6947  faclbnd4lem3 6950  bcpasc 6969  fsum0 7039  serz0 7053  binomlem1 7066  binomlem4 7069  binom 7072  clm0 7083  clm0nns 7085  clm0i 7089  clim0 7097  climuni 7099  iserzshft2 7107  climuz0 7108  serzclim0 7109  caucvg3t 7168  serzf0 7169  ser1f0 7170  ser10 7172  ser1clim0 7173  cvgcmp3cetlem1 7188  infcvglem2 7222  fnsmnt 7226  geolim 7237  geolim1 7239  fsum0diag 7258  mulc1cncf 7279  efseq1ex 7306  ef0lem 7310  ef0 7335  efcjt 7337  efaddt 7367  ef4p 7399  ef4pt 7400  efcnlem4 7422  sin0ALT 7445  sinaddt 7453  cosaddt 7454  bcth 8032  cnaddabl 8126  cnid 8127  addinv 8128  vc0 8188  vcz 8189  vcoprne 8198  ip0r 8370  ipasslem8 8497  pythi 8510  siilem2 8512  minveclem30 8574  pilog 8768  avril1 8784  hvmul0t 8893  hi01t 8962  norm-iiit 9007  normpyth 9009  ocsh 9156  pjthlem8 9226  pjthlem9 9227  h1de2ctlem 9478  pjmult 9634  pjnel 9668  eigret 9761  eigortht 9764  0cnfn 9904  0lnfn 9909  lnopeq0 9932  lnopunilem2 9936  lnfncon 9990  nlelsh 9993  unierr 10037  abs2sqlet 10374  abs2sqltt 10375

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain