MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cyg Unicode version

Theorem 0cyg 15179
Description: The trivial group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
0cyg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem 0cyg
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . 2  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 simpl 443 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Grp )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
51, 4grpidcl 14510 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( 0g `  G
)  e.  B )
7 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
8 en1eqsn 7088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { ( 0g `  G ) } )
95, 8sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  B  =  { ( 0g `  G ) } )
109eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  { ( 0g
`  G ) } ) )
1110biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  { ( 0g `  G
) } )
12 elsn 3655 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  G ) }  <-> 
x  =  ( 0g
`  G ) )
1311, 12sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =  ( 0g `  G ) )
141, 4, 2mulg0 14572 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  G )  e.  B  ->  (
0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
156, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  -> 
( 0 (.g `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G
) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
1713, 16eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =  ( 0 (.g `  G
) ( 0g `  G ) ) )
18 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
n (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  =  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
1918eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) )  <->  x  =  (
0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) ) )
2019rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  x  =  ( 0 (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
217, 17, 20sylancr 644 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  /\  x  e.  B
)  ->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( n (.g `  G ) ( 0g `  G ) ) )
221, 2, 3, 6, 21iscygd 15174 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   0cc0 8737   ZZcz 10024   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366  CycGrpccyg 15164
This theorem is referenced by:  lt6abl  15181  frgpcyg  16527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cyg 15165
  Copyright terms: Public domain W3C validator