MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Unicode version

Theorem 0dgr 19680
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )

Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3231 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 plyconst 19641 . . . 4  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
4 0nn0 10027 . . . 4  |-  0  e.  NN0
54a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  NN0 )
6 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  A  e.  CC )
7 0z 10082 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
8 exp0 11155 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 0 )  =  1 )
98oveq2d 5916 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  ( A  x.  ( z ^ 0 ) )  =  ( A  x.  1 ) )
10 mulid1 8880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
119, 10sylan9eqr 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  =  A )
12 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )
14 oveq2 5908 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
0 ) )
1514oveq2d 5916 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( A  x.  ( z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^ 0 ) ) )
1615fsum1 12261 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
177, 13, 16sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
1817, 11eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  A )
1918mpteq2dva 4143 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  A ) )
20 fconstmpt 4769 . . . 4  |-  ( CC 
X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  A )
2119, 20syl6reqr 2367 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
223, 5, 6, 21dgrle 19678 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_ 
0 )
23 dgrcl 19668 . . 3  |-  ( ( CC  X.  { A } )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  e. 
NN0 )
24 nn0le0eq0 10041 . . 3  |-  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  e.  NN0  ->  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
253, 23, 243syl 18 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
(deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
2622, 25mpbid 201 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787    <_ cle 8913   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ...cfz 10829   ^cexp 11151   sum_csu 12205  Polycply 19619  degcdgr 19622
This theorem is referenced by:  0dgrb  19681  coemulc  19689  dgr0  19696  dgrmulc  19705  dgrcolem2  19708  plyremlem  19737  vieta1lem2  19744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-0p 19078  df-ply 19623  df-coe 19625  df-dgr 19626
  Copyright terms: Public domain W3C validator