MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dgr Structured version   Unicode version

Theorem 0dgr 20165
Description: A constant function has degree 0. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
0dgr  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )

Proof of Theorem 0dgr
Dummy variables  z 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3368 . . . 4  |-  CC  C_  CC
2 plyconst 20126 . . . 4  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
31, 2mpan 653 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  (Poly `  CC ) )
4 0nn0 10237 . . . 4  |-  0  e.  NN0
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  e.  NN0 )
6 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... 0 ) )  ->  A  e.  CC )
7 0z 10294 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
8 exp0 11387 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 0 )  =  1 )
98oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  ( A  x.  ( z ^ 0 ) )  =  ( A  x.  1 ) )
10 mulid1 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
119, 10sylan9eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  =  A )
12 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1311, 12eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )
14 oveq2 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
z ^ k )  =  ( z ^
0 ) )
1514oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  ( A  x.  ( z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^ 0 ) ) )
1615fsum1 12536 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  x.  (
z ^ 0 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
177, 13, 16sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  ( A  x.  ( z ^
0 ) ) )
1817, 11eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  (
z ^ k ) )  =  A )
1918mpteq2dva 4296 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( A  x.  ( z ^ k ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  A ) )
20 fconstmpt 4922 . . . 4  |-  ( CC 
X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  A )
2119, 20syl6reqr 2488 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
223, 5, 6, 21dgrle 20163 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_ 
0 )
23 dgrcl 20153 . . 3  |-  ( ( CC  X.  { A } )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  e. 
NN0 )
24 nn0le0eq0 10251 . . 3  |-  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  e.  NN0  ->  ( (deg
`  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
253, 23, 243syl 19 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
(deg `  ( CC  X.  { A } ) )  <_  0  <->  (deg `  ( CC  X.  { A }
) )  =  0 ) )
2622, 25mpbid 203 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  { A } ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   0cc0 8991   1c1 8992    x. cmul 8996    <_ cle 9122   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ...cfz 11044   ^cexp 11383   sum_csu 12480  Polycply 20104  degcdgr 20107
This theorem is referenced by:  0dgrb  20166  coemulc  20174  dgr0  20181  dgrmulc  20190  dgrcolem2  20193  plyremlem  20222  vieta1lem2  20229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-0p 19563  df-ply 20108  df-coe 20110  df-dgr 20111
  Copyright terms: Public domain W3C validator