Theorem 0el 2286

Description: Membership of the empty set in another class.

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ((/) e. A <-> E.x e. A A.y -. y e. x)

Distinct variable groups:   x,A   x,y

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 1677	. 2 |- ((/) e. A <-> E.x e. A x = (/))
2		eq0 2284	. . 3 |- (x = (/) <-> A.y -. y e. x)
3	2	rexbii 1660	. 2 |- (E.x e. A x = (/) <-> E.x e. A A.y -. y e. x)
4	1, 3	bitr 173	1 |- ((/) e. A <-> E.x e. A A.y -. y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  (/)c0 2270

This theorem is referenced by:  axinf2 4596  zfinf 4598

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-nul 2271

Copyright terms: Public domain