Theorem 0elon 3022

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193.

Assertion

Ref	Expression
0elon	|- (/) e. On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 3021	. 2 |- Ord (/)
2		0ex 2711	. . 3 |- (/) e. V
3	2	elon 2957	. 2 |- ((/) e. On <-> Ord (/))
4	1, 3	mpbir 190	1 |- (/) e. On

Syntax hints:   e. wcel 958  (/)c0 2280  Ord word 2947  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  inton 3026  onne0 3033  orduninsuc 3114  on0eqelt 3124  tz7.44-1 3928  rdgsuct 3945  rdglimt 3948  1on 4138  ordgt0ge1 4144  oa0 4155  om0 4156  oe0m 4157  oe0m0 4159  oe0 4161  oa1suc 4164  oesuc 4166  omcl 4171  oecl 4172  oa0r 4173  om0r 4174  om1 4176  oe1 4178  oaord1 4185  oaword1 4186  oaword2 4187  oawordeu 4189  oa00 4193  odi 4210  rankon 4671  rankeq0 4696  numth2 4785  card0 4823  alephon 4865  alephgeom 4882  alephfplem1 4896  cdafi 4936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-nul 2710

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-tr 2681  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain