MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Unicode version

Theorem 0elunit 10979
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9055 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10045 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9515 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9054 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 10940 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1136 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    <_ cle 9085   [,]cicc 10883
This theorem is referenced by:  xrhmeo  18932  htpycom  18962  htpyid  18963  htpyco1  18964  htpyco2  18965  htpycc  18966  phtpy01  18971  phtpycom  18974  phtpyid  18975  phtpyco2  18976  phtpycc  18977  reparphti  18983  pcocn  19003  pcohtpylem  19005  pcoptcl  19007  pcopt  19008  pcopt2  19009  pcoass  19010  pcorevcl  19011  pcorevlem  19012  pi1xfrf  19039  pi1xfr  19041  pi1xfrcnvlem  19042  pi1xfrcnv  19043  pi1cof  19045  pi1coghm  19047  dvlipcn  19839  xrge0iifcnv  24280  xrge0iifiso  24282  xrge0iifhom  24284  lgamgulmlem2  24775  cnpcon  24878  pconcon  24879  txpcon  24880  ptpcon  24881  indispcon  24882  conpcon  24883  sconpi1  24887  txsconlem  24888  txscon  24889  cvxpcon  24890  cvxscon  24891  cvmliftlem14  24945  cvmlift2lem2  24952  cvmlift2lem3  24953  cvmlift2lem8  24958  cvmlift2lem12  24962  cvmlift2lem13  24963  cvmliftphtlem  24965  cvmliftpht  24966  cvmlift3lem1  24967  cvmlift3lem2  24968  cvmlift3lem4  24970  cvmlift3lem5  24971  cvmlift3lem6  24972  cvmlift3lem9  24975  brbtwn2  25756  axsegconlem1  25768  axpaschlem  25791  axcontlem7  25821  axcontlem8  25822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-icc 10887
  Copyright terms: Public domain W3C validator