MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Structured version   Unicode version

Theorem 0elunit 11015
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 9091 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 10081 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9551 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 9090 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 10976 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1136 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    <_ cle 9121   [,]cicc 10919
This theorem is referenced by:  xrhmeo  18971  htpycom  19001  htpyid  19002  htpyco1  19003  htpyco2  19004  htpycc  19005  phtpy01  19010  phtpycom  19013  phtpyid  19014  phtpyco2  19015  phtpycc  19016  reparphti  19022  pcocn  19042  pcohtpylem  19044  pcoptcl  19046  pcopt  19047  pcopt2  19048  pcoass  19049  pcorevcl  19050  pcorevlem  19051  pi1xfrf  19078  pi1xfr  19080  pi1xfrcnvlem  19081  pi1xfrcnv  19082  pi1cof  19084  pi1coghm  19086  dvlipcn  19878  xrge0iifcnv  24319  xrge0iifiso  24321  xrge0iifhom  24323  lgamgulmlem2  24814  cnpcon  24917  pconcon  24918  txpcon  24919  ptpcon  24920  indispcon  24921  conpcon  24922  sconpi1  24926  txsconlem  24927  txscon  24928  cvxpcon  24929  cvxscon  24930  cvmliftlem14  24984  cvmlift2lem2  24991  cvmlift2lem3  24992  cvmlift2lem8  24997  cvmlift2lem12  25001  cvmlift2lem13  25002  cvmliftphtlem  25004  cvmliftpht  25005  cvmlift3lem1  25006  cvmlift3lem2  25007  cvmlift3lem4  25009  cvmlift3lem5  25010  cvmlift3lem6  25011  cvmlift3lem9  25014  brbtwn2  25844  axsegconlem1  25856  axpaschlem  25879  axcontlem7  25909  axcontlem8  25910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-icc 10923
  Copyright terms: Public domain W3C validator