MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elunit Unicode version

Theorem 0elunit 10846
Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
0elunit  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)

Proof of Theorem 0elunit
StepHypRef Expression
1 0re 8928 . 2  |-  0  e.  RR
2 0le0 9917 . 2  |-  0  <_  0
3 0le1 9387 . 2  |-  0  <_  1
4 1re 8927 . . 3  |-  1  e.  RR
51, 4elicc2i 10808 . 2  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
1 ) )
61, 2, 3, 5mpbir3an 1134 1  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    <_ cle 8958   [,]cicc 10751
This theorem is referenced by:  xrhmeo  18548  htpycom  18578  htpyid  18579  htpyco1  18580  htpyco2  18581  htpycc  18582  phtpy01  18587  phtpycom  18590  phtpyid  18591  phtpyco2  18592  phtpycc  18593  reparphti  18599  pcocn  18619  pcohtpylem  18621  pcoptcl  18623  pcopt  18624  pcopt2  18625  pcoass  18626  pcorevcl  18627  pcorevlem  18628  pi1xfrf  18655  pi1xfr  18657  pi1xfrcnvlem  18658  pi1xfrcnv  18659  pi1cof  18661  pi1coghm  18663  dvlipcn  19445  xrge0iifcnv  23475  xrge0iifhom  23479  lgamgulmlem2  24063  cnpcon  24165  pconcon  24166  txpcon  24167  ptpcon  24168  indispcon  24169  conpcon  24170  sconpi1  24174  txsconlem  24175  txscon  24176  cvxpcon  24177  cvxscon  24178  cvmliftlem14  24232  cvmlift2lem2  24239  cvmlift2lem3  24240  cvmlift2lem8  24245  cvmlift2lem12  24249  cvmlift2lem13  24250  cvmliftphtlem  24252  cvmliftpht  24253  cvmlift3lem1  24254  cvmlift3lem2  24255  cvmlift3lem4  24257  cvmlift3lem5  24258  cvmlift3lem6  24259  cvmlift3lem9  24262  brbtwn2  25092  axsegconlem1  25104  axpaschlem  25127  axcontlem7  25157  axcontlem8  25158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-icc 10755
  Copyright terms: Public domain W3C validator