MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fin Unicode version

Theorem 0fin 7087
Description: The empty set is finite. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
0fin  |-  (/)  e.  Fin

Proof of Theorem 0fin
StepHypRef Expression
1 peano1 4675 . 2  |-  (/)  e.  om
2 ssid 3197 . 2  |-  (/)  C_  (/)
3 ssnnfi 7082 . 2  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  C_  (/) )  ->  (/) 
e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 653 1  |-  (/)  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   omcom 4656   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  xpfi  7128  fnfi  7134  iunfi  7144  cantnf0  7376  cantnf  7395  r1fin  7445  acndom  7678  numwdom  7686  ackbij1lem18  7863  sdom2en01  7928  fin23lem26  7951  isfin1-3  8012  gchxpidm  8291  fzfi  11034  fzofi  11036  hasheq0  11353  hashxp  11386  0hashbc  13054  acsfn0  13562  isdrs2  14073  fpwipodrs  14267  dprdsubg  15259  psrbas  16124  psrlidm  16148  psrridm  16149  mplsubg  16181  mpllss  16182  psrbag0  16235  fctop  16741  cmpfi  17135  ptbasid  17270  cfinfil  17588  ufinffr  17624  fin1aufil  17627  alexsubALTlem2  17742  alexsubALTlem4  17744  ptcmplem2  17747  tsmsfbas  17810  tsms0  17824  tgptsmscls  17832  xrge0gsumle  18338  xrge0tsms  18339  fta1  19688  dchrptlem3  20505  xrge0tsmsd  23382  esumnul  23427  esum0  23428  esumcst  23436  esumsn  23437  esumpcvgval  23446  indf1ofs  23609  derang0  23700  fixpc  25094  bwt2  25592  comppfsc  26307  0totbnd  26497  heiborlem6  26540  mzpcompact2lem  26829  dsmm0cl  27206  symgfisg  27409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator