MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Unicode version

Theorem 0hashbc 13151
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
0hashbc  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Distinct variable groups:    a, b,
i    N, a, i
Allowed substitution hints:    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 7177 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 nnnn0 10064 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
43hashbc2 13150 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
51, 2, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
6 hash0 11448 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
76oveq1i 5955 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  _C  N )  =  ( 0  _C  N )
8 0nn0 10072 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
10 nnz 10137 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
11 nngt0 9865 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1211olcd 382 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <  0  \/  0  <  N ) )
13 bcval4 11413 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  <  0  \/  0  <  N ) )  ->  ( 0  _C  N )  =  0 )
149, 10, 12, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  _C  N )  =  0 )
157, 14syl5eq 2402 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( # `  (/) )  _C  N )  =  0 )
165, 15eqtrd 2390 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  0 )
17 ovex 5970 . . 3  |-  ( (/) C N )  e.  _V
18 hasheq0 11446 . . 3  |-  ( (
(/) C N )  e.  _V  ->  (
( # `  ( (/) C N ) )  =  0  <->  ( (/) C N )  =  (/) ) )
1917, 18ax-mp 8 . 2  |-  ( (
# `  ( (/) C N ) )  =  0  <-> 
( (/) C N )  =  (/) )
2016, 19sylib 188 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947   Fincfn 6951   0cc0 8827    < clt 8957   NNcn 9836   NN0cn0 10057   ZZcz 10116    _C cbc 11408   #chash 11430
This theorem is referenced by:  ramz2  13168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-seq 11139  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431
  Copyright terms: Public domain W3C validator