MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0hashbc Unicode version

Theorem 0hashbc 13054
Description: There are no subsets of the empty set with size greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
Assertion
Ref Expression
0hashbc  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Distinct variable groups:    a, b,
i    N, a, i
Allowed substitution hints:    C( i, a, b)    N( b)

Proof of Theorem 0hashbc
StepHypRef Expression
1 0fin 7087 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 nnnn0 9972 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
43hashbc2 13053 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
51, 2, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  ( ( # `  (/) )  _C  N ) )
6 hash0 11355 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
76oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  _C  N )  =  ( 0  _C  N )
8 0nn0 9980 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  NN0 )
10 nnz 10045 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
11 nngt0 9775 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1211olcd 382 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <  0  \/  0  <  N ) )
13 bcval4 11320 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  <  0  \/  0  <  N ) )  ->  ( 0  _C  N )  =  0 )
149, 10, 12, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  _C  N )  =  0 )
157, 14syl5eq 2327 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( # `  (/) )  _C  N )  =  0 )
165, 15eqtrd 2315 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( (/) C N ) )  =  0 )
17 ovex 5883 . . 3  |-  ( (/) C N )  e.  _V
18 hasheq0 11353 . . 3  |-  ( (
(/) C N )  e.  _V  ->  (
( # `  ( (/) C N ) )  =  0  <->  ( (/) C N )  =  (/) ) )
1917, 18ax-mp 8 . 2  |-  ( (
# `  ( (/) C N ) )  =  0  <-> 
( (/) C N )  =  (/) )
2016, 19sylib 188 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( (/) C N )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   0cc0 8737    < clt 8867   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    _C cbc 11315   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ramz2  13071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator