Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0hf Unicode version

Theorem 0hf 24879
Description: The empty set is a hereditarily finite set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0hf  |-  (/)  e. Hf

Proof of Theorem 0hf
StepHypRef Expression
1 peano1 4691 . . . 4  |-  (/)  e.  om
2 peano2 4692 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  suc  (/)  e.  om
4 0elpw 4196 . . . 4  |-  (/)  e.  ~P ( R1 `  (/) )
5 0elon 4461 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
6 r1suc 7458 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( R1 ` 
suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) ) )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  (/) )  =  ~P ( R1 `  (/) )
84, 7eleqtrri 2369 . . 3  |-  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) )
9 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  suc  (/) ) )
109eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( x  =  suc  (/)  ->  ( (/) 
e.  ( R1 `  x )  <->  (/)  e.  ( R1 `  suc  (/) ) ) )
1110rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( suc  (/)  e.  om  /\  (/) 
e.  ( R1 `  suc  (/) ) )  ->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
123, 8, 11mp2an 653 . 2  |-  E. x  e.  om  (/)  e.  ( R1
`  x )
13 elhf 24876 . 2  |-  ( (/)  e. Hf 
<->  E. x  e.  om  (/) 
e.  ( R1 `  x ) )
1412, 13mpbir 200 1  |-  (/)  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   ` cfv 5271   R1cr1 7450   Hf chf 24874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452  df-hf 24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator