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Theorem 0lno 22296
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
0lno.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
0lno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3 0lno.0 . . 3  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
41, 2, 30oo 22295 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
5 simplll 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 simpllr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
7 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  x  e.  CC )
8 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
101, 9nvscl 22112 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
115, 7, 8, 10syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
141, 13nvgcl 22104 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
155, 11, 12, 14syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
16 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
171, 16, 30oval 22294 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
185, 6, 15, 17syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
191, 16, 30oval 22294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
205, 6, 8, 19syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
2120oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  W )
( 0vec `  W )
) )
221, 16, 30oval 22294 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
235, 6, 12, 22syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
2421, 23oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
25 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
2625, 16nvsz 22124 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) )  =  ( 0vec `  W
) )
276, 7, 26syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
2827oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( ( 0vec `  W
) ( +v `  W ) ( 0vec `  W ) ) )
292, 16nvzcl 22120 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
306, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W ) )
31 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
322, 31, 16nv0rid 22121 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
336, 30, 32syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
3424, 28, 333eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
3518, 34eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3635ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  ->  A. y  e.  (
BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet `  U ) ( Z `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3736ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
38 0lno.7 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 22259 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z  e.  L  <->  ( Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) ) ) )
404, 37, 39mpbir2and 890 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   NrmCVeccnv 22068   +vcpv 22069   BaseSetcba 22070   .s
OLDcns 22071   0veccn0v 22072    LnOp clno 22246    0op c0o 22249
This theorem is referenced by:  0blo  22298  nmlno0i  22300  blocn  22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-lno 22250  df-0o 22253
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