MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lno Unicode version

Theorem 0lno 21368
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
0lno.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
0lno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3 0lno.0 . . 3  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
41, 2, 30oo 21367 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
5 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
7 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  x  e.  CC )
8 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
101, 9nvscl 21184 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
115, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
141, 13nvgcl 21176 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
155, 11, 12, 14syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
171, 16, 30oval 21366 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
185, 6, 15, 17syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
191, 16, 30oval 21366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
205, 6, 8, 19syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
2120oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  W )
( 0vec `  W )
) )
221, 16, 30oval 21366 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
235, 6, 12, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
2421, 23oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
25 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
2625, 16nvsz 21196 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) )  =  ( 0vec `  W
) )
276, 7, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
2827oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( ( 0vec `  W
) ( +v `  W ) ( 0vec `  W ) ) )
292, 16nvzcl 21192 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
306, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
322, 31, 16nv0rid 21193 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
336, 30, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
3424, 28, 333eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
3518, 34eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3635ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  ->  A. y  e.  (
BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet `  U ) ( Z `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3736ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
38 0lno.7 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 21331 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z  e.  L  <->  ( Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) ) ) )
404, 37, 39mpbir2and 888 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   0veccn0v 21144    LnOp clno 21318    0op c0o 21321
This theorem is referenced by:  0blo  21370  nmlno0i  21372  blocn  21385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-lno 21322  df-0o 21325
  Copyright terms: Public domain W3C validator