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Theorem 0lno 21802
Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
0lno.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
0lno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 eqid 2366 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3 0lno.0 . . 3  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
41, 2, 30oo 21801 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
5 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
7 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  x  e.  CC )
8 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
)
9 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
101, 9nvscl 21618 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
115, 7, 8, 10syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  U
) y )  e.  ( BaseSet `  U )
)
12 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  z  e.  ( BaseSet `  U )
)
13 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
141, 13nvgcl 21610 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x ( .s OLD `  U ) y )  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
155, 11, 12, 14syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)
16 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
171, 16, 30oval 21800 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  ( (
x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
185, 6, 15, 17syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
191, 16, 30oval 21800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
205, 6, 8, 19syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  y )  =  (
0vec `  W )
)
2120oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) )  =  ( x ( .s
OLD `  W )
( 0vec `  W )
) )
221, 16, 30oval 21800 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
235, 6, 12, 22syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  z )  =  (
0vec `  W )
)
2421, 23oveq12d 5999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) ) ( +v
`  W ) (
0vec `  W )
) )
25 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
2625, 16nvsz 21630 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) )  =  ( 0vec `  W
) )
276, 7, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
2827oveq1d 5996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( 0vec `  W ) ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  ( ( 0vec `  W
) ( +v `  W ) ( 0vec `  W ) ) )
292, 16nvzcl 21626 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
306, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W ) )
31 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
322, 31, 16nv0rid 21627 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
336, 30, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( ( 0vec `  W ) ( +v `  W ) ( 0vec `  W
) )  =  (
0vec `  W )
)
3424, 28, 333eqtrd 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
x ( .s OLD `  W ) ( Z `
 y ) ) ( +v `  W
) ( Z `  z ) )  =  ( 0vec `  W
) )
3518, 34eqtr4d 2401 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  /\  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  /\  z  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3635ralrimivva 2720 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  /\  x  e.  CC )  ->  A. y  e.  (
BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet `  U ) ( Z `
 ( ( x ( .s OLD `  U
) y ) ( +v `  U ) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
3736ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) )
38 0lno.7 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 21765 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z  e.  L  <->  ( Z : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) A. z  e.  ( BaseSet
`  U ) ( Z `  ( ( x ( .s OLD `  U ) y ) ( +v `  U
) z ) )  =  ( ( x ( .s OLD `  W
) ( Z `  y ) ) ( +v `  W ) ( Z `  z
) ) ) ) )
404, 37, 39mpbir2and 888 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   NrmCVeccnv 21574   +vcpv 21575   BaseSetcba 21576   .s
OLDcns 21577   0veccn0v 21578    LnOp clno 21752    0op c0o 21755
This theorem is referenced by:  0blo  21804  nmlno0i  21806  blocn  21819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-ltxr 9019  df-grpo 21290  df-gid 21291  df-ginv 21292  df-ablo 21381  df-vc 21536  df-nv 21582  df-va 21585  df-ba 21586  df-sm 21587  df-0v 21588  df-nmcv 21590  df-lno 21756  df-0o 21759
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