Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lno Structured version   Unicode version

Theorem 0lno 22296
 Description: The zero operator is linear. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0lno.0
0lno.7
Assertion
Ref Expression
0lno

Proof of Theorem 0lno
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 eqid 2438 . . 3
3 0lno.0 . . 3
41, 2, 30oo 22295 . 2
5 simplll 736 . . . . . 6
6 simpllr 737 . . . . . 6
7 simplr 733 . . . . . . . 8
8 simprl 734 . . . . . . . 8
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9
101, 9nvscl 22112 . . . . . . . 8
115, 7, 8, 10syl3anc 1185 . . . . . . 7
12 simprr 735 . . . . . . 7
13 eqid 2438 . . . . . . . 8
141, 13nvgcl 22104 . . . . . . 7
155, 11, 12, 14syl3anc 1185 . . . . . 6
16 eqid 2438 . . . . . . 7
171, 16, 30oval 22294 . . . . . 6
185, 6, 15, 17syl3anc 1185 . . . . 5
191, 16, 30oval 22294 . . . . . . . . 9
205, 6, 8, 19syl3anc 1185 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6100 . . . . . . 7
221, 16, 30oval 22294 . . . . . . . 8
235, 6, 12, 22syl3anc 1185 . . . . . . 7
2421, 23oveq12d 6102 . . . . . 6
25 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2625, 16nvsz 22124 . . . . . . . 8
276, 7, 26syl2anc 644 . . . . . . 7
2827oveq1d 6099 . . . . . 6
292, 16nvzcl 22120 . . . . . . . 8
306, 29syl 16 . . . . . . 7
31 eqid 2438 . . . . . . . 8
322, 31, 16nv0rid 22121 . . . . . . 7
336, 30, 32syl2anc 644 . . . . . 6
3424, 28, 333eqtrd 2474 . . . . 5
3518, 34eqtr4d 2473 . . . 4
3635ralrimivva 2800 . . 3
3736ralrimiva 2791 . 2
38 0lno.7 . . 3
391, 2, 13, 31, 9, 25, 38islno 22259 . 2
404, 37, 39mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cnv 22068  cpv 22069  cba 22070  cns 22071  cn0v 22072   clno 22246   c0o 22249 This theorem is referenced by:  0blo  22298  nmlno0i  22300  blocn  22313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-ltxr 9130  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-lno 22250  df-0o 22253
 Copyright terms: Public domain W3C validator