MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 9296
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 8806 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 9294 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 8795 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 8839 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4046 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867
This theorem is referenced by:  0le1  9297  eqneg  9480  elimgt0  9592  ltp1  9594  ltm1  9596  recgt0  9600  mulgt1  9615  reclt1  9651  recgt1  9652  recgt1i  9653  recp1lt1  9654  recreclt  9655  recgt0ii  9662  inelr  9736  nnge1  9772  nngt0  9775  0nnn  9777  nnrecgt0  9783  2pos  9828  3pos  9830  4pos  9832  5pos  9833  6pos  9834  7pos  9835  8pos  9836  9pos  9837  10pos  9838  halflt1  9933  elnnnn0c  10009  elnnz1  10049  recnz  10087  1rp  10358  xmulid1  10599  fz10  10814  1mod  10996  expgt1  11140  ltexp2a  11153  expcan  11154  ltexp2  11155  leexp2  11156  leexp2a  11157  expnbnd  11230  expnlbnd  11231  expnlbnd2  11232  expmulnbnd  11233  discr1  11237  bcn1  11325  s2fv0  11535  resqrex  11736  mulcn2  12069  cvgrat  12339  cos1bnd  12467  sin01gt0  12470  sincos1sgn  12473  ruclem8  12515  nthruz  12530  sadcadd  12649  divdenle  12820  43prm  13123  ipostr  14256  abvtrivd  15605  gzrngunit  16437  znidomb  16515  thlle  16597  leordtval2  16942  mopnex  18065  dscopn  18096  metnrmlem1a  18362  xrhmph  18445  evth  18457  xlebnum  18463  vitalilem4  18966  vitalilem5  18967  vitali  18968  ply1remlem  19548  plyremlem  19684  plyrem  19685  vieta1lem2  19691  reeff1olem  19822  sinhalfpilem  19834  rplogcl  19958  logtayllem  20006  cxplt  20041  cxple  20042  atanre  20181  atanlogaddlem  20209  ressatans  20230  rlimcnp  20260  rlimcnp2  20261  cxp2limlem  20270  cxp2lim  20271  cxploglim2  20273  amgmlem  20284  emcllem2  20290  harmonicubnd  20303  fsumharmonic  20305  ftalem1  20310  ftalem2  20311  chpchtsum  20458  chpub  20459  mersenne  20466  perfectlem2  20469  efexple  20520  lgsdir2lem3  20564  chebbnd1  20621  dchrmusumlema  20642  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0lema  20663  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  mulog2sumlem1  20683  chpdifbndlem1  20702  chpdifbnd  20704  selberg3lem1  20706  pntrmax  20713  pntrsumo1  20714  pntpbnd1a  20734  pntpbnd2  20736  pntibndlem1  20738  pntlem3  20758  pnt  20763  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  ballotlemi1  23061  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066  esumcst  23436  hasheuni  23453  zetacvg  23689  fz0n  24097  axcontlem2  24593  bpoly4  24794  areacirclem5  24929  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell14qrgt0  26944  elpell1qr2  26957  pellfundex  26971  pellfundrp  26973  rmxypos  27034  stoweidlem7  27756  stoweidlem34  27783  stoweidlem36  27785  stoweidlem38  27787  stoweidlem42  27791  stoweidlem44  27793  stoweidlem51  27800  stoweidlem59  27808  stirlinglem5  27827  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem15  27837  sgn1  28249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator