MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 9312
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 8822 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 9310 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 8811 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 8855 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4062 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883
This theorem is referenced by:  0le1  9313  eqneg  9496  elimgt0  9608  ltp1  9610  ltm1  9612  recgt0  9616  mulgt1  9631  reclt1  9667  recgt1  9668  recgt1i  9669  recp1lt1  9670  recreclt  9671  recgt0ii  9678  inelr  9752  nnge1  9788  nngt0  9791  0nnn  9793  nnrecgt0  9799  2pos  9844  3pos  9846  4pos  9848  5pos  9849  6pos  9850  7pos  9851  8pos  9852  9pos  9853  10pos  9854  halflt1  9949  elnnnn0c  10025  elnnz1  10065  recnz  10103  1rp  10374  xmulid1  10615  fz10  10830  1mod  11012  expgt1  11156  ltexp2a  11169  expcan  11170  ltexp2  11171  leexp2  11172  leexp2a  11173  expnbnd  11246  expnlbnd  11247  expnlbnd2  11248  expmulnbnd  11249  discr1  11253  bcn1  11341  s2fv0  11551  resqrex  11752  mulcn2  12085  cvgrat  12355  cos1bnd  12483  sin01gt0  12486  sincos1sgn  12489  ruclem8  12531  nthruz  12546  sadcadd  12665  divdenle  12836  43prm  13139  ipostr  14272  abvtrivd  15621  gzrngunit  16453  znidomb  16531  thlle  16613  leordtval2  16958  mopnex  18081  dscopn  18112  metnrmlem1a  18378  xrhmph  18461  evth  18473  xlebnum  18479  vitalilem4  18982  vitalilem5  18983  vitali  18984  ply1remlem  19564  plyremlem  19700  plyrem  19701  vieta1lem2  19707  reeff1olem  19838  sinhalfpilem  19850  rplogcl  19974  logtayllem  20022  cxplt  20057  cxple  20058  atanre  20197  atanlogaddlem  20225  ressatans  20246  rlimcnp  20276  rlimcnp2  20277  cxp2limlem  20286  cxp2lim  20287  cxploglim2  20289  amgmlem  20300  emcllem2  20306  harmonicubnd  20319  fsumharmonic  20321  ftalem1  20326  ftalem2  20327  chpchtsum  20474  chpub  20475  mersenne  20482  perfectlem2  20485  efexple  20536  lgsdir2lem3  20580  chebbnd1  20637  dchrmusumlema  20658  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumiflem1  20666  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0lema  20679  dchrisum0lem1  20681  dchrisum0lem2a  20682  mulog2sumlem1  20699  chpdifbndlem1  20718  chpdifbnd  20720  selberg3lem1  20722  pntrmax  20729  pntrsumo1  20730  pntpbnd1a  20750  pntpbnd2  20752  pntibndlem1  20754  pntlem3  20774  pnt  20779  ostth2lem1  20783  ostth2lem3  20800  ostth2lem4  20801  ballotlemi1  23077  ballotlemic  23081  ballotlem1c  23082  esumcst  23451  hasheuni  23468  zetacvg  23704  fz0n  24112  faclimlem6  24122  faclimlem9  24125  axcontlem2  24665  bpoly4  24866  areacirclem5  25032  pellexlem2  27018  pellexlem6  27022  pell14qrgt0  27047  elpell1qr2  27060  pellfundex  27074  pellfundrp  27076  rmxypos  27137  stoweidlem7  27859  stoweidlem34  27886  stoweidlem36  27888  stoweidlem38  27890  stoweidlem42  27894  stoweidlem44  27896  stoweidlem51  27903  stoweidlem59  27911  stirlinglem5  27930  stirlinglem6  27931  stirlinglem7  27932  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem15  27940  spthispth  28359  usgrcyclnl1  28386  sgn1  28503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator