MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Structured version   Unicode version

Theorem 0lt1 9552
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 9092 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 9061 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 9550 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 655 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 9050 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 9094 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 4237 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122
This theorem is referenced by:  0le1  9553  eqneg  9736  elimgt0  9848  ltp1  9850  ltm1  9852  recgt0  9856  mulgt1  9871  reclt1  9907  recgt1  9908  recgt1i  9909  recp1lt1  9910  recreclt  9911  recgt0ii  9918  inelr  9992  nnge1  10028  nngt0  10031  0nnn  10033  nnrecgt0  10039  2pos  10084  3pos  10086  4pos  10088  5pos  10089  6pos  10090  7pos  10091  8pos  10092  9pos  10093  10pos  10094  halflt1  10191  elnnnn0c  10267  elnnz1  10309  recnz  10347  1rp  10618  xmulid1  10860  fz10  11077  elfznelfzob  11195  1mod  11275  expgt1  11420  ltexp2a  11433  expcan  11434  ltexp2  11435  leexp2  11436  leexp2a  11437  expnbnd  11510  expnlbnd  11511  expnlbnd2  11512  expmulnbnd  11513  discr1  11517  bcn1  11606  hashnn0n0nn  11666  brfi1uzind  11717  s2fv0  11851  resqrex  12058  mulcn2  12391  cvgrat  12662  cos1bnd  12790  sin01gt0  12793  sincos1sgn  12796  ruclem8  12838  nthruz  12853  sadcadd  12972  divdenle  13143  43prm  13446  ipostr  14581  abvtrivd  15930  gzrngunit  16766  znidomb  16844  thlle  16926  leordtval2  17278  mopnex  18551  dscopn  18623  metnrmlem1a  18890  xrhmph  18974  evth  18986  xlebnum  18992  vitalilem4  19505  vitalilem5  19506  vitali  19507  ply1remlem  20087  plyremlem  20223  plyrem  20224  vieta1lem2  20230  reeff1olem  20364  sinhalfpilem  20376  rplogcl  20501  logtayllem  20552  cxplt  20587  cxple  20588  atanre  20727  atanlogaddlem  20755  ressatans  20776  rlimcnp  20806  rlimcnp2  20807  cxp2limlem  20816  cxp2lim  20817  cxploglim2  20819  amgmlem  20830  emcllem2  20837  harmonicubnd  20850  fsumharmonic  20852  ftalem1  20857  ftalem2  20858  chpchtsum  21005  chpub  21006  mersenne  21013  perfectlem2  21016  efexple  21067  lgsdir2lem3  21111  chebbnd1  21168  dchrmusumlema  21189  dchrvmasumlem2  21194  dchrvmasumiflem1  21197  dchrisum0flblem2  21205  dchrisum0lema  21210  dchrisum0lem1  21212  dchrisum0lem2a  21213  mulog2sumlem1  21230  chpdifbndlem1  21249  chpdifbnd  21251  selberg3lem1  21253  pntrmax  21260  pntrsumo1  21261  pntpbnd1a  21281  pntpbnd2  21283  pntibndlem1  21285  pntlem3  21305  pnt  21310  ostth2lem1  21314  ostth2lem3  21331  ostth2lem4  21332  spthispth  21575  usgrcyclnl1  21629  esumcst  24457  hasheuni  24477  ballotlemi1  24762  ballotlemic  24766  ballotlem1c  24767  zetacvg  24801  fz0n  25204  risefall0lem  25344  binomfallfaclem2  25358  axcontlem2  25906  bpoly4  26107  areacirclem4  26297  pellexlem2  26895  pellexlem6  26899  pell14qrgt0  26924  elpell1qr2  26937  pellfundex  26951  pellfundrp  26953  rmxypos  27014  stoweidlem7  27734  stoweidlem36  27763  stoweidlem38  27765  stoweidlem42  27769  stoweidlem51  27778  stoweidlem59  27786  stirlinglem5  27805  stirlinglem6  27806  stirlinglem7  27807  stirlinglem10  27810  stirlinglem11  27811  stirlinglem12  27812  stirlinglem15  27815  sgn1  28584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
  Copyright terms: Public domain W3C validator