MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1sr Unicode version

Theorem 0lt1sr 8733
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr  |-  0R  <R  1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 8655 . . . . . 6  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 8658 . . . . . 6  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 ltaddpr 8674 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P ) )
53, 1, 4mp2an 653 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
6 addcompr 8661 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  ( 1P  +P.  1P ) )  =  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  1P )
75, 6breqtrri 4064 . . 3  |-  ( 1P 
+P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) )
8 ltsrpr 8715 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  1P ) ) )
97, 8mpbir 200 . 2  |-  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
10 df-0r 8702 . 2  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
11 df-1r 8703 . 2  |-  1R  =  [ <. ( 1P  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R
129, 10, 113brtr4i 4067 1  |-  0R  <R  1R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   <.cop 3656   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   [cec 6674   P.cnp 8497   1Pc1p 8498    +P. cpp 8499    <P cltp 8501    ~R cer 8504   0Rc0r 8506   1Rc1r 8507    <R cltr 8511
This theorem is referenced by:  1ne0sr  8734  supsrlem  8749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-1p 8622  df-plp 8623  df-ltp 8625  df-enr 8697  df-nr 8698  df-ltr 8701  df-0r 8702  df-1r 8703
  Copyright terms: Public domain W3C validator