MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0met Unicode version

Theorem 0met 17930
Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
0met  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )

Proof of Theorem 0met
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4150 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 f0 5425 . . 3  |-  (/) : (/) --> RR
3 xp0 5098 . . . 4  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
43feq2i 5384 . . 3  |-  ( (/) : ( (/)  X.  (/) ) --> RR  <->  (/) :
(/) --> RR )
52, 4mpbir 200 . 2  |-  (/) : (
(/)  X.  (/) ) --> RR
6 noel 3459 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
76pm2.21i 123 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( (
x (/) y )  =  0  <->  x  =  y
) )
87adantr 451 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/) )  ->  (
( x (/) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
96pm2.21i 123 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( x (/) y )  <_  (
( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
1093ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/)  /\  z  e.  (/) )  ->  ( x
(/) y )  <_ 
( ( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
111, 5, 8, 10ismeti 17890 1  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868   Metcme 16370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-met 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator