MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0met Structured version   Unicode version

Theorem 0met 18396
Description: The empty metric. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
0met  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )

Proof of Theorem 0met
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4339 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 f0 5627 . . 3  |-  (/) : (/) --> RR
3 xp0 5291 . . . 4  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
43feq2i 5586 . . 3  |-  ( (/) : ( (/)  X.  (/) ) --> RR  <->  (/) :
(/) --> RR )
52, 4mpbir 201 . 2  |-  (/) : (
(/)  X.  (/) ) --> RR
6 noel 3632 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
76pm2.21i 125 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( (
x (/) y )  =  0  <->  x  =  y
) )
87adantr 452 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/) )  ->  (
( x (/) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
96pm2.21i 125 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  ->  ( x (/) y )  <_  (
( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
1093ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( x  e.  (/)  /\  y  e.  (/)  /\  z  e.  (/) )  ->  ( x
(/) y )  <_ 
( ( z (/) x )  +  ( z (/) y ) ) )
111, 5, 8, 10ismeti 18355 1  |-  (/)  e.  ( Met `  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    <_ cle 9121   Metcme 16687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-met 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator