Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0mhm Unicode version

Theorem 0mhm 14435
 Description: The constant zero linear function between two monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0mhm.z
0mhm.b
Assertion
Ref Expression
0mhm MndHom

Proof of Theorem 0mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2
2 eqid 2283 . . . . . 6
3 0mhm.z . . . . . 6
42, 3mndidcl 14391 . . . . 5
54adantl 452 . . . 4
6 fconst6g 5430 . . . 4
75, 6syl 15 . . 3
8 simpr 447 . . . . . . 7
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9
102, 9, 3mndlid 14393 . . . . . . . 8
1110eqcomd 2288 . . . . . . 7
128, 5, 11syl2anc 642 . . . . . 6
1312adantr 451 . . . . 5
14 0mhm.b . . . . . . . . 9
15 eqid 2283 . . . . . . . . 9
1614, 15mndcl 14372 . . . . . . . 8
17163expb 1152 . . . . . . 7
1817adantlr 695 . . . . . 6
19 fvex 5539 . . . . . . . 8
203, 19eqeltri 2353 . . . . . . 7
2120fvconst2 5729 . . . . . 6
2218, 21syl 15 . . . . 5
2320fvconst2 5729 . . . . . . 7
2420fvconst2 5729 . . . . . . 7
2523, 24oveqan12d 5877 . . . . . 6
2625adantl 452 . . . . 5
2713, 22, 263eqtr4d 2325 . . . 4
2827ralrimivva 2635 . . 3
29 eqid 2283 . . . . . 6
3014, 29mndidcl 14391 . . . . 5
3130adantr 451 . . . 4
3220fvconst2 5729 . . . 4
3331, 32syl 15 . . 3
347, 28, 333jca 1132 . 2
3514, 2, 15, 9, 29, 3ismhm 14417 . 2 MndHom
361, 34, 35sylanbrc 645 1 MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  csn 3640   cxp 4687  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cmnd 14361   MndHom cmhm 14413 This theorem is referenced by:  0ghm  14697 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-map 6774  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415
 Copyright terms: Public domain W3C validator