MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nelfil Unicode version

Theorem 0nelfil 17560
Description: The empty set doesn't belong to a filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
0nelfil  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)

Proof of Theorem 0nelfil
StepHypRef Expression
1 filfbas 17559 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 0nelfb 17542 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
31, 2syl 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1696   (/)c0 3468   ` cfv 5271   fBascfbas 17534   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  fileln0  17561  isfil2  17567  infil  17574  filuni  17596  filufint  17631  rnelfmlem  17663  fmfnfm  17669  fclscmpi  17740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-fbas 17536  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator