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Theorem 0neqopab 6111
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 elopab 4454 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
2 nfopab1 4266 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
32nfel2 2583 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
43nfn 1811 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
5 nfopab2 4267 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
65nfel2 2583 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
76nfn 1811 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
8 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
9 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
108, 9opnzi 4425 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
11 necom 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  <. x ,  y >. )
12 df-ne 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =/=  <. x ,  y
>. 
<->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
1311, 12bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
14 pm2.21 102 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1513, 14sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1610, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
187, 17exlimi 1821 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
194, 18exlimi 1821 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
201, 19sylbi 188 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
21 id 20 . 2  |-  ( -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
2220, 21pm2.61i 158 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   (/)c0 3620   <.cop 3809   {copab 4257
This theorem is referenced by:  brabv  6112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-opab 4259
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