MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Structured version   Unicode version

Theorem 0nmhm 18794
Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1  |-  V  =  ( Base `  S
)
0nmhm.2  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
0nmhm.f  |-  F  =  (Scalar `  S )
0nmhm.g  |-  G  =  (Scalar `  T )
Assertion
Ref Expression
0nmhm  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18719 . . 3  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
2 nlmlmod 18719 . . 3  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
3 id 21 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  F  =  G )
4 0nmhm.2 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
5 0nmhm.1 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
6 0nmhm.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  S )
7 0nmhm.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  T )
84, 5, 6, 70lmhm 16121 . . 3  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod  /\  F  =  G )  ->  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T ) )
91, 2, 3, 8syl3an 1227 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S LMHom  T
) )
10 nlmngp 18718 . . . 4  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
11 nlmngp 18718 . . . 4  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
125, 40nghm 18780 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
1310, 11, 12syl2an 465 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
14133adant3 978 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
15 isnmhm 18785 . . . 4  |-  ( ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
1615baib 873 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
17163adant3 978 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
189, 14, 17mpbir2and 890 1  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   0gc0g 13728   LModclmod 15955   LMHom clmhm 16100  NrmGrpcngp 18630  NrmModcnlm 18633   NGHom cnghm 18745   NMHom cnmhm 18746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-topgen 13672  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-ghm 15009  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-lmod 15957  df-lmhm 16103  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-xms 18355  df-ms 18356  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-nlm 18639  df-nmo 18747  df-nghm 18748  df-nmhm 18749
  Copyright terms: Public domain W3C validator