MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nmhm Unicode version

Theorem 0nmhm 18266
Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0nmhm.1  |-  V  =  ( Base `  S
)
0nmhm.2  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
0nmhm.f  |-  F  =  (Scalar `  S )
0nmhm.g  |-  G  =  (Scalar `  T )
Assertion
Ref Expression
0nmhm  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem 0nmhm
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18191 . . 3  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
2 nlmlmod 18191 . . 3  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
3 id 19 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  F  =  G )
4 0nmhm.2 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  T )
5 0nmhm.1 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
6 0nmhm.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  S )
7 0nmhm.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  T )
84, 5, 6, 70lmhm 15799 . . 3  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod  /\  F  =  G )  ->  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T ) )
91, 2, 3, 8syl3an 1224 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S LMHom  T
) )
10 nlmngp 18190 . . . 4  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
11 nlmngp 18190 . . . 4  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
125, 40nghm 18252 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
1310, 11, 12syl2an 463 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
14133adant3 975 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NGHom  T
) )
15 isnmhm 18257 . . . 4  |-  ( ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
1615baib 871 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
17163adant3 975 . 2  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NMHom 
T )  <->  ( ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
189, 14, 17mpbir2and 888 1  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod  /\  F  =  G
)  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   {csn 3642    X. cxp 4689   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150  Scalarcsca 13213   0gc0g 13402   LModclmod 15629   LMHom clmhm 15778  NrmGrpcngp 18102  NrmModcnlm 18105   NGHom cnghm 18217   NMHom cnmhm 18218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ico 10664  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-plusg 13223  df-topgen 13346  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-grp 14491  df-ghm 14683  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-lmod 15631  df-lmhm 15781  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-xms 17887  df-ms 17888  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nlm 18111  df-nmo 18219  df-nghm 18220  df-nmhm 18221
  Copyright terms: Public domain W3C validator