MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Structured version   Unicode version

Theorem 0oo 22292
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
0oo.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
0oo.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
Assertion
Ref Expression
0oo  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( 0vec `  W )  e.  _V
21fconst 5631 . . . 4  |-  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> { (
0vec `  W ) }
3 0oo.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
53, 4nvzcl 22117 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
65snssd 3945 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  { ( 0vec `  W ) }  C_  Y )
7 fss 5601 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> { ( 0vec `  W
) }  /\  {
( 0vec `  W ) }  C_  Y )  -> 
( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
82, 6, 7sylancr 646 . . 3  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y )
98adantl 454 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
10 0oo.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 0oo.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
1210, 4, 110ofval 22290 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  =  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) )
1312feq1d 5582 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z : X --> Y  <->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y ) )
149, 13mpbird 225 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   {csn 3816    X. cxp 4878   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   NrmCVeccnv 22065   BaseSetcba 22067   0veccn0v 22069    0op c0o 22246
This theorem is referenced by:  0lno  22293  nmoo0  22294  nmlno0lem  22296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-0o 22250
  Copyright terms: Public domain W3C validator