MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oo Unicode version

Theorem 0oo 21367
Description: The zero operator is an operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oo.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
0oo.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
0oo.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
Assertion
Ref Expression
0oo  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )

Proof of Theorem 0oo
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( 0vec `  W )  e.  _V
21fconst 5427 . . . 4  |-  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> { (
0vec `  W ) }
3 0oo.2 . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
53, 4nvzcl 21192 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
65snssd 3760 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  { ( 0vec `  W ) }  C_  Y )
7 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( ( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> { ( 0vec `  W
) }  /\  {
( 0vec `  W ) }  C_  Y )  -> 
( X  X.  {
( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
82, 6, 7sylancr 644 . . 3  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y )
98adantl 452 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( X  X.  { ( 0vec `  W ) } ) : X --> Y )
10 0oo.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 0oo.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
1210, 4, 110ofval 21365 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  =  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) )
1312feq1d 5379 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( Z : X --> Y  <->  ( X  X.  { ( 0vec `  W
) } ) : X --> Y ) )
149, 13mpbird 223 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z : X --> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   0veccn0v 21144    0op c0o 21321
This theorem is referenced by:  0lno  21368  nmoo0  21369  nmlno0lem  21371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-0o 21325
  Copyright terms: Public domain W3C validator