Theorem 0oo 8449

Description: The zero operator is an operator.

Hypotheses

Ref	Expression
0oo.1	|- X = (Base` U)
0oo.2	|- Y = (Base` W)
0oo.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
0oo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Proof of Theorem 0oo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0oo.2	. . . . 5 |- Y = (Base` W)
2		eqid 1475	. . . . 5 |- (0v` W) = (0v` W)
3	1, 2	nvzcl 8255	. . . 4 |- (W e. NrmCVec -> (0v` W) e. Y)
4		snssi 2466	. . . 4 |- ((0v` W) e. Y -> {(0v` W)} (_ Y)
5		fvex 3732	. . . . . 6 |- (0v` W) e. V
6	5	fconst 3658	. . . . 5 |- (X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)}
7		fss 3635	. . . . 5 |- (((X X. {(0v` W)}):X-->{(0v` W)} /\ {(0v` W)} (_ Y) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
8	6, 7	mpan 695	. . . 4 |- ({(0v` W)} (_ Y -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
9	3, 4, 8	3syl 20	. . 3 |- (W e. NrmCVec -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
10	9	adantl 388	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (X X. {(0v` W)}):X-->Y)
11		0oo.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
12		0oo.0	. . . 4 |- Z = (U 0op W)
13	11, 2, 12	0ofval 8447	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z = (X X. {(0v` W)}))
14	13	feq1d 3624	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (Z:X-->Y <-> (X X. {(0v` W)}):X-->Y))
15	10, 14	mpbird 196	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  {csn 2409   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207   0op c0o 8404

This theorem is referenced by:  0lno 8450  nmo0 8451  nmlno0lem 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-0o 8408

Copyright terms: Public domain