MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0opn Unicode version

Theorem 0opn 16666
Description: The empty set is an open subset of a topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
0opn  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)

Proof of Theorem 0opn
StepHypRef Expression
1 uni0 3870 . 2  |-  U. (/)  =  (/)
2 0ss 3496 . . 3  |-  (/)  C_  J
3 uniopn 16659 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  J )  ->  U. (/)  e.  J
)
42, 3mpan2 652 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (/)  e.  J
)
51, 4syl5eqelr 2381 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  0ntop  16667  istps2OLD  16675  topgele  16688  tgclb  16724  0top  16737  en1top  16738  en2top  16739  topcld  16788  clsval2  16803  ntr0  16834  opnnei  16873  0nei  16881  restrcl  16904  rest0  16916  ordtrest2lem  16949  iocpnfordt  16961  icomnfordt  16962  cnindis  17036  iscon2  17156  kqtop  17452  mopn0  18060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-pw 3640  df-sn 3659  df-uni 3844  df-top 16652
  Copyright terms: Public domain W3C validator