Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ramcl Structured version   Unicode version

Theorem 0ramcl 13391
 Description: Lemma for ramcl 13397: Existence of the Ramsey number when . (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ramcl Ramsey

Proof of Theorem 0ramcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5591 . . . . . . . 8
2 dffn4 5659 . . . . . . . 8
31, 2sylib 189 . . . . . . 7
43ad2antlr 708 . . . . . 6
5 foeq2 5650 . . . . . . 7
65adantl 453 . . . . . 6
74, 6mpbid 202 . . . . 5
8 fo00 5711 . . . . . 6
98simplbi 447 . . . . 5
107, 9syl 16 . . . 4
1110oveq2d 6097 . . 3 Ramsey Ramsey
12 0nn0 10236 . . . . 5
13 ram0 13390 . . . . 5 Ramsey
1412, 13ax-mp 8 . . . 4 Ramsey
1514, 12eqeltri 2506 . . 3 Ramsey
1611, 15syl6eqel 2524 . 2 Ramsey
17 0ram2 13389 . . . . 5 Ramsey
18 frn 5597 . . . . . . 7
19183ad2ant3 980 . . . . . 6
20 nn0ssz 10302 . . . . . . . 8
2119, 20syl6ss 3360 . . . . . . 7
22 fdm 5595 . . . . . . . . . 10
23223ad2ant3 980 . . . . . . . . 9
24 simp2 958 . . . . . . . . 9
2523, 24eqnetrd 2619 . . . . . . . 8
26 dm0rn0 5086 . . . . . . . . 9
2726necon3bii 2633 . . . . . . . 8
2825, 27sylib 189 . . . . . . 7
29 nn0ssre 10225 . . . . . . . . . 10
3019, 29syl6ss 3360 . . . . . . . . 9
31 simp1 957 . . . . . . . . . 10
3233ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10
33 fofi 7392 . . . . . . . . . 10
3431, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . 9
35 fimaxre 9955 . . . . . . . . 9
3630, 34, 28, 35syl3anc 1184 . . . . . . . 8
37 ssrexv 3408 . . . . . . . 8
3821, 36, 37sylc 58 . . . . . . 7
39 suprzcl2 10566 . . . . . . 7
4021, 28, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . 6
4119, 40sseldd 3349 . . . . 5
4217, 41eqeltrd 2510 . . . 4 Ramsey
43423expa 1153 . . 3 Ramsey
4443an32s 780 . 2 Ramsey
4516, 44pm2.61dane 2682 1 Ramsey
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706   wss 3320  c0 3628   class class class wbr 4212   cdm 4878   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  (class class class)co 6081  cfn 7109  csup 7445  cr 8989  cc0 8990   clt 9120   cle 9121  cn0 10221  cz 10282   Ramsey cram 13367 This theorem is referenced by:  ramcl  13397 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-ram 13369
 Copyright terms: Public domain W3C validator