Theorem 0sdom1dom 4525

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	|- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	0sdom 4467	. . . 4 |- ((/) ~< A <-> A =/= (/))
3		ne0 2288	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.x x e. A)
4	2, 3	bitr 173	. . 3 |- ((/) ~< A <-> E.x x e. A)
5		snssi 2466	. . . . 5 |- (x e. A -> {x} (_ A)
6		ssdom2g 4409	. . . . . 6 |- (A e. V -> ({x} (_ A -> {x} ~<_ A))
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- ({x} (_ A -> {x} ~<_ A)
8		1on 4138	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1818	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10		visset 1813	. . . . . . . 8 |- x e. V
11	10	ensn1 4424	. . . . . . 7 |- {x} ~~ 1o
12	9, 11	ensymi 4413	. . . . . 6 |- 1o ~~ {x}
13		endomtr 4420	. . . . . 6 |- ((1o ~~ {x} /\ {x} ~<_ A) -> 1o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 695	. . . . 5 |- ({x} ~<_ A -> 1o ~<_ A)
15	5, 7, 14	3syl 20	. . . 4 |- (x e. A -> 1o ~<_ A)
16	15	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.x x e. A -> 1o ~<_ A)
17	4, 16	sylbi 199	. 2 |- ((/) ~< A -> 1o ~<_ A)
18		df-1o 4133	. . . 4 |- 1o = suc (/)
19	18	breq1i 2626	. . 3 |- (1o ~<_ A <-> suc (/) ~<_ A)
20		peano1 3149	. . . 4 |- (/) e. om
21		sucdomi 4524	. . . 4 |- (((/) e. om /\ A e. V) -> (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A))
22	20, 1, 21	mp2an 697	. . 3 |- (suc (/) ~<_ A -> (/) ~< A)
23	19, 22	sylbi 199	. 2 |- (1o ~<_ A -> (/) ~< A)
24	17, 23	impbi 157	1 |- ((/) ~< A <-> 1o ~<_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409   class class class wbr 2619  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131  1oc1o 4128   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-1o 4133  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain