Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0totbnd Structured version   Unicode version

Theorem 0totbnd 26483
 Description: The metric (there is only one) on the empty set is totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
0totbnd

Proof of Theorem 0totbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5729 . . 3
21eleq2d 2504 . 2
3 fveq2 5729 . . . 4
43eleq2d 2504 . . 3
5 0elpw 4370 . . . . . . 7
6 0fin 7337 . . . . . . 7
7 elin 3531 . . . . . . 7
85, 6, 7mpbir2an 888 . . . . . 6
9 0iun 4149 . . . . . 6
10 iuneq1 4107 . . . . . . . 8
1110eqeq1d 2445 . . . . . . 7
1211rspcev 3053 . . . . . 6
138, 9, 12mp2an 655 . . . . 5
1413rgenw 2774 . . . 4
15 istotbnd3 26481 . . . 4
1614, 15mpbiran2 887 . . 3
174, 16syl6rbbr 257 . 2
182, 17bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707   cin 3320  c0 3629  cpw 3800  ciun 4094  cfv 5455  (class class class)co 6082  cfn 7110  crp 10613  cme 16688  cbl 16689  ctotbnd 26476 This theorem is referenced by:  prdsbnd2  26505 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-totbnd 26478
 Copyright terms: Public domain W3C validator