MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Unicode version

Theorem 1259prm 13375
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 13363 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10164 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10060 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10320 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10162 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10163 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10321 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10166 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10321 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10169 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2380 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10034 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10351 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2403 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6023 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10321 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10158 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 8974 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9236 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2400 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10165 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10321 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10168 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2380 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10321 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2380 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2380 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10054 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10028 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6025 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10370 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2400 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10379 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 9997 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 9995 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10036 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9183 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10351 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10346 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7nn 10063 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN
4342nncni 9935 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
44 7t3e21 10390 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4543, 36, 44mulcomli 9023 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
4637, 19, 31addcomli 9183 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
477, 6, 7, 45, 46decaddi 10351 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
483nncni 9935 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
49 7t4e28 10391 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
5043, 48, 49mulcomli 9023 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5125, 2, 23, 28, 11, 7, 47, 50decmul1c 10354 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5224, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 51decmul2c 10355 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5322, 52eqtr4i 2403 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
54 9nn0 10170 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5510, 54deccl 10321 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
565, 55eqeltri 2450 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5756nn0cni 10158 . . . 4  |-  N  e.  CC
58 npcan 9239 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5957, 19, 58mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
6059eqcomi 2384 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
61 1nn 9936 . 2  |-  1  e.  NN
62 2nn 10058 . 2  |-  2  e.  NN
632, 25deccl 10321 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6463numexp1 13333 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6564oveq2i 6024 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6653, 65eqtr4i 2403 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
67 4lt7 10084 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 42, 67declt 10328 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 64breqtrri 4171 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 13373 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 13374 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 53, 60, 4, 61, 62, 66, 69, 70, 71pockthi 13195 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6013   CCcc 8914   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    - cmin 9216   2c2 9974   3c3 9975   4c4 9976   5c5 9977   7c7 9979   8c8 9980   9c9 9981   NN0cn0 10146  ;cdc 10307   ^cexp 11302   Primecprime 12999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-odz 13074  df-phi 13075  df-pc 13131
  Copyright terms: Public domain W3C validator