MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Unicode version

Theorem 1259prm 13448
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 13436 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 10232 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 10128 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10388 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 10230 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 10231 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10389 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10234 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10389 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10237 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2436 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 10102 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10419 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2459 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 6084 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10389 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 10226 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 9041 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9304 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 654 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2456 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10233 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10389 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10236 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2436 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10389 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2436 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2436 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 10122 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 10096 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 6086 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10438 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10447 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 10065 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 10063 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 10104 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9251 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10419 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10414 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7nn 10131 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN
4342nncni 10003 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
44 7t3e21 10458 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4543, 36, 44mulcomli 9090 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
4637, 19, 31addcomli 9251 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
477, 6, 7, 45, 46decaddi 10419 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
483nncni 10003 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
49 7t4e28 10459 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
5043, 48, 49mulcomli 9090 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5125, 2, 23, 28, 11, 7, 47, 50decmul1c 10422 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5224, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 51decmul2c 10423 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5322, 52eqtr4i 2459 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
54 9nn0 10238 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5510, 54deccl 10389 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
565, 55eqeltri 2506 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5756nn0cni 10226 . . . 4  |-  N  e.  CC
58 npcan 9307 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5957, 19, 58mp2an 654 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
6059eqcomi 2440 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
61 1nn 10004 . 2  |-  1  e.  NN
62 2nn 10126 . 2  |-  2  e.  NN
632, 25deccl 10389 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6463numexp1 13406 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6564oveq2i 6085 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6653, 65eqtr4i 2459 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
67 4lt7 10152 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 42, 67declt 10396 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 64breqtrri 4230 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 13446 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 13447 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 53, 60, 4, 61, 62, 66, 69, 70, 71pockthi 13268 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6074   CCcc 8981   1c1 8984    + caddc 8986    x. cmul 8988    < clt 9113    - cmin 9284   2c2 10042   3c3 10043   4c4 10044   5c5 10045   7c7 10047   8c8 10048   9c9 10049   NN0cn0 10214  ;cdc 10375   ^cexp 11375   Primecprime 13072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-card 7819  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-hash 11612  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-dvds 12846  df-gcd 13000  df-prm 13073  df-odz 13147  df-phi 13148  df-pc 13204
  Copyright terms: Public domain W3C validator