MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Unicode version

Theorem 1259prm 13134
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 13122 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 9879 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10137 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 9981 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10138 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 9985 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10138 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 9988 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 9853 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10168 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 9977 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9057 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2303 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 9984 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10138 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 9987 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2283 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10138 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 9873 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 9847 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10187 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10196 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 9818 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 9816 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 9855 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10168 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10163 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7nn 9882 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN
4342nncni 9756 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
44 7t3e21 10207 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4543, 36, 44mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
4637, 19, 31addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
477, 6, 7, 45, 46decaddi 10168 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
483nncni 9756 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
49 7t4e28 10208 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
5043, 48, 49mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5125, 2, 23, 28, 11, 7, 47, 50decmul1c 10171 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5224, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 51decmul2c 10172 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5322, 52eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
54 9nn0 9989 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5510, 54deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
565, 55eqeltri 2353 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5756nn0cni 9977 . . . 4  |-  N  e.  CC
58 npcan 9060 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5957, 19, 58mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
6059eqcomi 2287 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
61 1nn 9757 . 2  |-  1  e.  NN
62 2nn 9877 . 2  |-  2  e.  NN
632, 25deccl 10138 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6463numexp1 13092 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6564oveq2i 5869 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6653, 65eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
67 4lt7 9903 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 42, 67declt 10145 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 64breqtrri 4048 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 13132 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 13133 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 53, 60, 4, 61, 62, 66, 69, 70, 71pockthi 12954 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802   NN0cn0 9965  ;cdc 10124   ^cexp 11104   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-odz 12833  df-phi 12834  df-pc 12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator