MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Unicode version

Theorem 1259prm 13150
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
Assertion
Ref Expression
1259prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 13138 . 2  |- ; 3 7  e.  Prime
2 3nn0 9999 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 4nn 9895 . . 3  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10153 . 2  |- ; 3 4  e.  NN
5 1259prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 1 2 5 9
6 1nn0 9997 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
7 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
86, 7deccl 10154 . . . . . . . 8  |- ; 1 2  e.  NN0
9 5nn0 10001 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
108, 9deccl 10154 . . . . . . 7  |- ;; 1 2 5  e.  NN0
11 8nn0 10004 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN0
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |- ;;; 1 2 5 8  = ;;; 1 2 5 8
13 8p1e9 9869 . . . . . . 7  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 10184 . . . . . 6  |-  (;;; 1 2 5 8  +  1 )  = ;;; 1 2 5 9
155, 14eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 1 2 5 8  +  1 )
1615oveq1i 5884 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )
1710, 11deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 8  e.  NN0
1817nn0cni 9993 . . . . 5  |- ;;; 1 2 5 8  e.  CC
19 ax-1cn 8811 . . . . 5  |-  1  e.  CC
20 pncan 9073 . . . . 5  |-  ( (;;; 1 2 5 8  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 1 2 5 8  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 1 2 5 8 )
2118, 19, 20mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 1 2 5 8  +  1 )  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
2216, 21eqtri 2316 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 1 2 5 8
23 4nn0 10000 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
242, 23deccl 10154 . . . 4  |- ; 3 4  e.  NN0
25 7nn0 10003 . . . 4  |-  7  e.  NN0
26 eqid 2296 . . . 4  |- ; 3 7  = ; 3 7
277, 2deccl 10154 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
28 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 3 4  = ; 3 4
29 eqid 2296 . . . . 5  |- ; 2 3  = ; 2 3
30 3t3e9 9889 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
31 2p1e3 9863 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3230, 31oveq12i 5886 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 9  +  3 )
33 9p3e12 10203 . . . . . 6  |-  ( 9  +  3 )  = ; 1
2
3432, 33eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
2
35 4t3e12 10212 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
36 3cn 9834 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
37 2cn 9832 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
38 3p2e5 9871 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3936, 37, 38addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( 2  +  3 )  =  5
406, 7, 2, 35, 39decaddi 10184 . . . . 5  |-  ( ( 4  x.  3 )  +  3 )  = ; 1
5
412, 23, 7, 2, 28, 29, 2, 9, 6, 34, 40decmac 10179 . . . 4  |-  ( (; 3
4  x.  3 )  + ; 2 3 )  = ;; 1 2 5
42 7nn 9898 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN
4342nncni 9772 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
44 7t3e21 10223 . . . . . . 7  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
4543, 36, 44mulcomli 8860 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
4637, 19, 31addcomli 9020 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
477, 6, 7, 45, 46decaddi 10184 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
483nncni 9772 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
49 7t4e28 10224 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  4 )  = ; 2
8
5043, 48, 49mulcomli 8860 . . . . 5  |-  ( 4  x.  7 )  = ; 2
8
5125, 2, 23, 28, 11, 7, 47, 50decmul1c 10187 . . . 4  |-  (; 3 4  x.  7 )  = ;; 2 3 8
5224, 2, 25, 26, 11, 27, 41, 51decmul2c 10188 . . 3  |-  (; 3 4  x. ; 3 7 )  = ;;; 1 2 5 8
5322, 52eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
54 9nn0 10005 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
5510, 54deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 1 2 5 9  e.  NN0
565, 55eqeltri 2366 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
5756nn0cni 9993 . . . 4  |-  N  e.  CC
58 npcan 9076 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5957, 19, 58mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
6059eqcomi 2300 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
61 1nn 9773 . 2  |-  1  e.  NN
62 2nn 9893 . 2  |-  2  e.  NN
632, 25deccl 10154 . . . . 5  |- ; 3 7  e.  NN0
6463numexp1 13108 . . . 4  |-  (; 3 7 ^ 1 )  = ; 3 7
6564oveq2i 5885 . . 3  |-  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )  =  (; 3 4  x. ; 3 7 )
6653, 65eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 4  x.  (; 3 7 ^ 1 ) )
67 4lt7 9919 . . . 4  |-  4  <  7
682, 23, 42, 67declt 10161 . . 3  |- ; 3 4  < ; 3 7
6968, 64breqtrri 4064 . 2  |- ; 3 4  <  (; 3 7 ^ 1 )
7051259lem4 13148 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
7151259lem5 13149 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 3 4 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
721, 4, 53, 60, 4, 61, 62, 66, 69, 70, 71pockthi 12970 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   7c7 9816   8c8 9817   9c9 9818   NN0cn0 9981  ;cdc 10140   ^cexp 11120   Primecprime 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-odz 12849  df-phi 12850  df-pc 12906
  Copyright terms: Public domain W3C validator