MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Unicode version

Theorem 139prm 13446
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm  |- ;; 1 3 9  e.  Prime

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10237 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 3nn0 10239 . . . 4  |-  3  e.  NN0
31, 2deccl 10396 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN0
4 9nn 10140 . . 3  |-  9  e.  NN
53, 4decnncl 10395 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  NN
6 8nn0 10244 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 10240 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 10396 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 9nn0 10245 . . 3  |-  9  e.  NN0
10 9lt10 10178 . . 3  |-  9  <  10
11 3lt10 10184 . . . 4  |-  3  <  10
12 1lt8 10169 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 10404 . . 3  |- ; 1 3  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 10404 . 2  |- ;; 1 3 9  < ;; 8 4 1
15 3nn 10134 . . . 4  |-  3  e.  NN
161, 15decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
17 1lt10 10186 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 10407 . 2  |-  1  < ;; 1 3 9
19 4t2e8 10130 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
20 df-9 10065 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
213, 7, 19, 20dec2dvds 13399 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 3 9
22 6nn0 10242 . . . 4  |-  6  e.  NN0
237, 22deccl 10396 . . 3  |- ; 4 6  e.  NN0
24 1nn 10011 . . 3  |-  1  e.  NN
25 0nn0 10236 . . . 4  |-  0  e.  NN0
26 eqid 2436 . . . 4  |- ; 4 6  = ; 4 6
271dec0h 10398 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
28 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2928addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3029oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )
31 2nn0 10238 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
32 2p1e3 10103 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
337nn0cni 10233 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
34 3cn 10072 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
35 4t3e12 10454 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3633, 34, 35mulcomli 9097 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
371, 31, 32, 36decsuc 10405 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
3830, 37eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
39 8p1e9 10109 . . . . 5  |-  ( 8  +  1 )  =  9
4022nn0cni 10233 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
41 6t3e18 10460 . . . . . 6  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
4240, 34, 41mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
431, 6, 39, 42decsuc 10405 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
447, 22, 25, 1, 26, 27, 2, 9, 1, 38, 43decma2c 10422 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 4 6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
45 1lt3 10144 . . 3  |-  1  <  3
4615, 23, 24, 44, 45ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 3 9
47 4nn 10135 . . 3  |-  4  e.  NN
48 4lt5 10148 . . 3  |-  4  <  5
49 5p4e9 10118 . . 3  |-  ( 5  +  4 )  =  9
503, 47, 48, 49dec5dvds2 13401 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 3 9
51 7nn 10138 . . 3  |-  7  e.  NN
521, 9deccl 10396 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN0
53 6nn 10137 . . 3  |-  6  e.  NN
54 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
5522dec0h 10398 . . . 4  |-  6  = ; 0 6
56 7nn0 10243 . . . 4  |-  7  e.  NN0
5751nncni 10010 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
5857mulid1i 9092 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  1 )  =  7
5940addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  6 )  =  6
6058, 59oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
61 7p6e13 10436 . . . . 5  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
6260, 61eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  1 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
634nncni 10010 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
64 9t7e63 10482 . . . . . 6  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
6563, 57, 64mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
66 6p3e9 10121 . . . . . 6  |-  ( 6  +  3 )  =  9
6740, 34, 66addcomli 9258 . . . . 5  |-  ( 3  +  6 )  =  9
6822, 2, 22, 65, 67decaddi 10426 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  6 )  = ; 6
9
691, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 62, 68decma2c 10422 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 1 9 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
70 6lt7 10157 . . 3  |-  6  <  7
7151, 52, 53, 69, 70ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 3 9
721, 24decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
731, 31deccl 10396 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
74 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
7556dec0h 10398 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
761, 1deccl 10396 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
77 2cn 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
7877addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
7978oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  2 )
8072nncni 10010 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
8180mulid1i 9092 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
8277, 28, 32addcomli 9258 . . . . . 6  |-  ( 1  +  2 )  =  3
831, 1, 31, 81, 82decaddi 10426 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  2 )  = ; 1
3
8479, 83eqtri 2456 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
3
85 eqid 2436 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8677mulid2i 9093 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
87 00id 9241 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8886, 87oveq12i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 2  +  0 )
8977addid1i 9253 . . . . . 6  |-  ( 2  +  0 )  =  2
9088, 89eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  2
9186oveq1i 6091 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  =  ( 2  +  7 )
92 7p2e9 10123 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  2 )  =  9
9357, 77, 92addcomli 9258 . . . . . 6  |-  ( 2  +  7 )  =  9
949dec0h 10398 . . . . . 6  |-  9  = ; 0 9
9591, 93, 943eqtri 2460 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  7 )  = ; 0
9
961, 1, 25, 56, 85, 75, 31, 9, 25, 90, 95decmac 10421 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  2 )  +  7 )  = ; 2
9
971, 31, 25, 56, 74, 75, 76, 9, 31, 84, 96decma2c 10422 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 3 9
98 7lt10 10180 . . . 4  |-  7  <  10
9924, 1, 56, 98declti 10407 . . 3  |-  7  < ; 1
1
10072, 73, 51, 97, 99ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 3 9
101 10nn0 10246 . . 3  |-  10  e.  NN0
102 dec10 10412 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
103 eqid 2436 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10425dec0h 10398 . . . . . 6  |-  0  = ; 0 0
10587, 104eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( 0  +  0 )  = ; 0
0
10628mulid1i 9092 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
107106, 87oveq12i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
10828addid1i 9253 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
109107, 108eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11034mulid1i 9092 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
111110oveq1i 6091 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
11234addid1i 9253 . . . . . 6  |-  ( 3  +  0 )  =  3
1132dec0h 10398 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
114111, 112, 1133eqtri 2460 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  0 )  = ; 0
3
1151, 2, 25, 25, 103, 105, 1, 2, 25, 109, 114decmac 10421 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  = ; 1
3
1163nn0cni 10233 . . . . . . 7  |- ; 1 3  e.  CC
117116mul01i 9256 . . . . . 6  |-  (; 1 3  x.  0 )  =  0
118117oveq1i 6091 . . . . 5  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  =  ( 0  +  9 )
11963addid2i 9254 . . . . 5  |-  ( 0  +  9 )  =  9
120118, 119, 943eqtri 2460 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  0 )  +  9 )  = ; 0
9
1211, 25, 25, 9, 102, 94, 3, 9, 25, 115, 120decma2c 10422 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  10 )  +  9 )  = ;; 1 3 9
12224, 2, 9, 10declti 10407 . . 3  |-  9  < ; 1
3
12316, 101, 4, 121, 122ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 3 9
1241, 51decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
125 eqid 2436 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
126 5nn0 10241 . . . 4  |-  5  e.  NN0
127 8nn 10139 . . . . . . . 8  |-  8  e.  NN
128127nncni 10010 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
129128mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
130 5nn 10136 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
131130nncni 10010 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
132131addid2i 9254 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
133129, 132oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( 8  +  5 )
134 8p5e13 10440 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
135133, 134eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
3
136 8t7e56 10475 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  7 )  = ; 5
6
137128, 57, 136mulcomli 9097 . . . . 5  |-  ( 7  x.  8 )  = ; 5
6
138126, 22, 2, 137, 66decaddi 10426 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  8 )  +  3 )  = ; 5
9
1391, 56, 25, 2, 125, 113, 6, 9, 126, 135, 138decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  8 )  +  3 )  = ;; 1 3 9
14024, 56, 2, 11declti 10407 . . 3  |-  3  < ; 1
7
141124, 6, 15, 139, 140ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 3 9
1421, 4decnncl 10395 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
14357mulid2i 9093 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  7 )  =  7
144143, 59oveq12i 6093 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  =  ( 7  +  6 )
145144, 61eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  7 )  +  ( 0  +  6 ) )  = ; 1
3
14622, 2, 22, 64, 67decaddi 10426 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  7 )  +  6 )  = ; 6
9
1471, 9, 25, 22, 54, 55, 56, 9, 22, 145, 146decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  7 )  +  6 )  = ;; 1 3 9
148 6lt10 10181 . . . 4  |-  6  <  10
14924, 9, 22, 148declti 10407 . . 3  |-  6  < ; 1
9
150142, 56, 53, 147, 149ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 3 9
15131, 15decnncl 10395 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
152 eqid 2436 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
15329oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )
154 6t2e12 10459 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  2 )  = ; 1
2
15540, 77, 154mulcomli 9097 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  6 )  = ; 1
2
1561, 31, 32, 155decsuc 10405 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
3
157153, 156eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
3
15831, 2, 25, 1, 152, 27, 22, 9, 1, 157, 43decmac 10421 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  6 )  +  1 )  = ;; 1 3 9
159 2nn 10133 . . . 4  |-  2  e.  NN
160159, 2, 1, 17declti 10407 . . 3  |-  1  < ; 2
3
161151, 22, 24, 158, 160ndvdsi 12930 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 3 9
1625, 14, 18, 21, 46, 50, 71, 100, 123, 141, 150, 161prmlem2 13442 1  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053   7c7 10054   8c8 10055   9c9 10056   10c10 10057  ;cdc 10382   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  2503prm  13459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator