MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Unicode version

Theorem 163prm 13126
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm  |- ;; 1 6 3  e.  Prime

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 9981 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 6nn0 9986 . . . 4  |-  6  e.  NN0
31, 2deccl 10138 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
4 3nn 9878 . . 3  |-  3  e.  NN
53, 4decnncl 10137 . 2  |- ;; 1 6 3  e.  NN
6 8nn0 9988 . . . 4  |-  8  e.  NN0
7 4nn0 9984 . . . 4  |-  4  e.  NN0
86, 7deccl 10138 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
9 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
10 3lt10 9928 . . 3  |-  3  <  10
11 6lt10 9925 . . . 4  |-  6  <  10
12 1lt8 9913 . . . 4  |-  1  <  8
131, 6, 2, 7, 11, 12decltc 10146 . . 3  |- ; 1 6  < ; 8 4
143, 8, 9, 1, 10, 13decltc 10146 . 2  |- ;; 1 6 3  < ;; 8 4 1
15 6nn 9881 . . . 4  |-  6  e.  NN
161, 15decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN
17 1lt10 9930 . . 3  |-  1  <  10
1816, 9, 1, 17declti 10149 . 2  |-  1  < ;; 1 6 3
19 2cn 9816 . . . 4  |-  2  e.  CC
2019mulid2i 8840 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
21 df-3 9805 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
223, 1, 20, 21dec2dvds 13078 . 2  |-  -.  2  || ;; 1 6 3
23 5nn0 9985 . . . 4  |-  5  e.  NN0
2423, 7deccl 10138 . . 3  |- ; 5 4  e.  NN0
25 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
26 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
27 eqid 2283 . . . 4  |- ; 5 4  = ; 5 4
281dec0h 10140 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
29 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
3029addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3130oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )
32 5p1e6 9850 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
33 5nn 9880 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
3433nncni 9756 . . . . . . 7  |-  5  e.  CC
35 3cn 9818 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
36 5t3e15 10198 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
3734, 35, 36mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
381, 23, 32, 37decsuc 10147 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
3931, 38eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  ( 0  +  1 ) )  = ; 1
6
40 2nn0 9982 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
41 2p1e3 9847 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
42 4cn 9820 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
43 4t3e12 10196 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
4442, 35, 43mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
451, 40, 41, 44decsuc 10147 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
4623, 7, 26, 1, 27, 28, 9, 9, 1, 39, 45decma2c 10164 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 5 4 )  +  1 )  = ;; 1 6 3
47 1lt3 9888 . . 3  |-  1  <  3
484, 24, 25, 46, 47ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  3  || ;; 1 6 3
49 3lt5 9893 . . 3  |-  3  <  5
503, 4, 49dec5dvds 13079 . 2  |-  -.  5  || ;; 1 6 3
51 7nn 9882 . . 3  |-  7  e.  NN
5240, 9deccl 10138 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN0
53 2nn 9877 . . 3  |-  2  e.  NN
54 eqid 2283 . . . 4  |- ; 2 3  = ; 2 3
5540dec0h 10140 . . . 4  |-  2  = ; 0 2
56 7nn0 9987 . . . 4  |-  7  e.  NN0
5719addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
5857oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )
59 7t2e14 10206 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
60 4p2e6 9857 . . . . . 6  |-  ( 4  +  2 )  =  6
611, 7, 40, 59, 60decaddi 10168 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  2 )  = ; 1
6
6258, 61eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
63 7t3e21 10207 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
6419, 29, 41addcomli 9004 . . . . 5  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6540, 1, 40, 63, 64decaddi 10168 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  3 )  +  2 )  = ; 2
3
6640, 9, 26, 40, 54, 55, 56, 9, 40, 62, 65decma2c 10164 . . 3  |-  ( ( 7  x. ; 2 3 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
67 2lt7 9905 . . 3  |-  2  <  7
6851, 52, 53, 66, 67ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  7  || ;; 1 6 3
691, 25decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
701, 7deccl 10138 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
71 9nn 9884 . . 3  |-  9  e.  NN
72 9nn0 9989 . . . 4  |-  9  e.  NN0
73 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
7472dec0h 10140 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
751, 1deccl 10138 . . . 4  |- ; 1 1  e.  NN0
7634addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  5 )  =  5
7776oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  =  ( (; 1 1  x.  1 )  +  5 )
7869nncni 9756 . . . . . . 7  |- ; 1 1  e.  CC
7978mulid1i 8839 . . . . . 6  |-  (; 1 1  x.  1 )  = ; 1 1
8034, 29, 32addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 1  +  5 )  =  6
811, 1, 23, 79, 80decaddi 10168 . . . . 5  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  5 )  = ; 1
6
8277, 81eqtri 2303 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  1 )  +  ( 0  +  5 ) )  = ; 1
6
83 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 1  = ; 1 1
8442mulid2i 8840 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  4 )  =  4
8584, 30oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 4  +  1 )
86 4p1e5 9849 . . . . . 6  |-  ( 4  +  1 )  =  5
8785, 86eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  5
8884oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  =  ( 4  +  9 )
8971nncni 9756 . . . . . . 7  |-  9  e.  CC
90 9p4e13 10188 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
9189, 42, 90addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
9288, 91eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  4 )  +  9 )  = ; 1
3
931, 1, 26, 72, 83, 74, 7, 9, 1, 87, 92decmac 10163 . . . 4  |-  ( (; 1
1  x.  4 )  +  9 )  = ; 5
3
941, 7, 26, 72, 73, 74, 75, 9, 23, 82, 93decma2c 10164 . . 3  |-  ( (; 1
1  x. ; 1 4 )  +  9 )  = ;; 1 6 3
95 9lt10 9922 . . . 4  |-  9  <  10
9625, 1, 72, 95declti 10149 . . 3  |-  9  < ; 1
1
9769, 70, 71, 94, 96ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 1  || ;; 1 6 3
981, 4decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
991, 40deccl 10138 . . 3  |- ; 1 2  e.  NN0
100 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 2  = ; 1 2
10156dec0h 10140 . . . 4  |-  7  = ; 0 7
1021, 9deccl 10138 . . . 4  |- ; 1 3  e.  NN0
103 eqid 2283 . . . . 5  |- ; 1 3  = ; 1 3
10435addid2i 9000 . . . . . 6  |-  ( 0  +  3 )  =  3
1059dec0h 10140 . . . . . 6  |-  3  = ; 0 3
106104, 105eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( 0  +  3 )  = ; 0
3
10729mulid1i 8839 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
108 00id 8987 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
109107, 108oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  ( 1  +  0 )
11029addid1i 8999 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
111109, 110eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  0 ) )  =  1
11235mulid1i 8839 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
113112oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  ( 3  +  3 )
114 3p3e6 9856 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
115113, 114eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  =  6
1162dec0h 10140 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
117115, 116eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  3 )  = ; 0
6
1181, 9, 26, 9, 103, 106, 1, 2, 26, 111, 117decmac 10163 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  1 )  +  ( 0  +  3 ) )  = ; 1
6
11920, 30oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 2  +  1 )
120119, 41eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  3
121 3t2e6 9872 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
122121oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  =  ( 6  +  7 )
12351nncni 9756 . . . . . . 7  |-  7  e.  CC
12415nncni 9756 . . . . . . 7  |-  6  e.  CC
125 7p6e13 10178 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  6 )  = ; 1
3
126123, 124, 125addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 6  +  7 )  = ; 1
3
127122, 126eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  7 )  = ; 1
3
1281, 9, 26, 56, 103, 101, 40, 9, 1, 120, 127decmac 10163 . . . 4  |-  ( (; 1
3  x.  2 )  +  7 )  = ; 3
3
1291, 40, 26, 56, 100, 101, 102, 9, 9, 118, 128decma2c 10164 . . 3  |-  ( (; 1
3  x. ; 1 2 )  +  7 )  = ;; 1 6 3
130 7lt10 9924 . . . 4  |-  7  <  10
13125, 9, 56, 130declti 10149 . . 3  |-  7  < ; 1
3
13298, 99, 51, 129, 131ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 3  || ;; 1 6 3
1331, 51decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
134 10nn 9885 . . 3  |-  10  e.  NN
135 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
136 dec10 10154 . . . 4  |-  10  = ; 1 0
13789mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
138 6p1e7 9851 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
139124, 29, 138addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 1  +  6 )  =  7
140137, 139oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  =  ( 9  +  7 )
141 9p7e16 10191 . . . . 5  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
142140, 141eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 1
6
143 9t7e63 10224 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  7 )  = ; 6
3
14489, 123, 143mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 7  x.  9 )  = ; 6
3
145144oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  =  (; 6 3  +  0 )
1462, 9deccl 10138 . . . . . . 7  |- ; 6 3  e.  NN0
147146nn0cni 9977 . . . . . 6  |- ; 6 3  e.  CC
148147addid1i 8999 . . . . 5  |-  (; 6 3  +  0 )  = ; 6 3
149145, 148eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  9 )  +  0 )  = ; 6
3
1501, 56, 1, 26, 135, 136, 72, 9, 2, 142, 149decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  9 )  +  10 )  = ;; 1 6 3
151 7pos 9835 . . . . 5  |-  0  <  7
1521, 26, 51, 151declt 10145 . . . 4  |- ; 1 0  < ; 1 7
153136, 152eqbrtri 4042 . . 3  |-  10  < ; 1 7
154133, 72, 134, 150, 153ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 7  || ;; 1 6 3
1551, 71decnncl 10137 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
156 eqid 2283 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
157 8nn 9883 . . . . . . . 8  |-  8  e.  NN
158157nncni 9756 . . . . . . 7  |-  8  e.  CC
159158mulid2i 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  8 )  =  8
160 7p1e8 9852 . . . . . . 7  |-  ( 7  +  1 )  =  8
161123, 29, 160addcomli 9004 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  =  8
162159, 161oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  =  ( 8  +  8 )
163 8p8e16 10185 . . . . 5  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
164162, 163eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  8 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 1
6
165 9t8e72 10225 . . . . 5  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
16656, 40, 41, 165decsuc 10147 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  8 )  +  1 )  = ; 7
3
1671, 72, 1, 1, 156, 83, 6, 9, 56, 164, 166decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  8 )  + ; 1 1 )  = ;; 1 6 3
168 1lt9 9921 . . . 4  |-  1  <  9
1691, 1, 71, 168declt 10145 . . 3  |- ; 1 1  < ; 1 9
170155, 6, 69, 167, 169ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 1 9  || ;; 1 6 3
17140, 4decnncl 10137 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
17257oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )
173123, 19, 59mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  7 )  = ; 1
4
1741, 7, 40, 173, 60decaddi 10168 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  2 )  = ; 1
6
175172, 174eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  7 )  +  ( 0  +  2 ) )  = ; 1
6
176123, 35, 63mulcomli 8844 . . . . 5  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
17740, 1, 40, 176, 64decaddi 10168 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
17840, 9, 26, 40, 54, 55, 56, 9, 40, 175, 177decmac 10163 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  7 )  +  2 )  = ;; 1 6 3
179 2lt10 9929 . . . 4  |-  2  <  10
18053, 9, 40, 179declti 10149 . . 3  |-  2  < ; 2
3
181171, 56, 53, 178, 180ndvdsi 12609 . 2  |-  -. ; 2 3  || ;; 1 6 3
1825, 14, 18, 22, 48, 50, 68, 97, 132, 154, 170, 181prmlem2 13121 1  |- ;; 1 6 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802   10c10 9803  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator