MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Unicode version

Theorem 19prm 13119
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm  |- ; 1 9  e.  Prime

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 9nn 9884 . . 3  |-  9  e.  NN
31, 2decnncl 10137 . 2  |- ; 1 9  e.  NN
4 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
5 9nn0 9989 . . 3  |-  9  e.  NN0
6 1lt10 9930 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10149 . 2  |-  1  < ; 1
9
8 4nn0 9984 . . 3  |-  4  e.  NN0
9 4t2e8 9874 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
10 df-9 9811 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
111, 8, 9, 10dec2dvds 13078 . 2  |-  -.  2  || ; 1 9
12 3nn 9878 . . 3  |-  3  e.  NN
13 6nn0 9986 . . 3  |-  6  e.  NN0
14 8nn0 9988 . . . 4  |-  8  e.  NN0
15 8p1e9 9853 . . . 4  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1613nn0cni 9977 . . . . 5  |-  6  e.  CC
17 3cn 9818 . . . . 5  |-  3  e.  CC
18 6t3e18 10202 . . . . 5  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
1916, 17, 18mulcomli 8844 . . . 4  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
201, 14, 15, 19decsuc 10147 . . 3  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
21 1lt3 9888 . . 3  |-  1  <  3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 12609 . 2  |-  -.  3  || ; 1 9
23 2nn0 9982 . . 3  |-  2  e.  NN0
24 5nn0 9985 . . 3  |-  5  e.  NN0
25 9lt10 9922 . . 3  |-  9  <  10
26 1lt2 9886 . . 3  |-  1  <  2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 10146 . 2  |- ; 1 9  < ; 2 5
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 13109 1  |- ; 1 9  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    x. cmul 8742   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   8c8 9801   9c9 9802  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  2503lem3  13137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator