MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  19prm Structured version   Unicode version

Theorem 19prm 13440
Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
19prm  |- ; 1 9  e.  Prime

Proof of Theorem 19prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 10237 . . 3  |-  1  e.  NN0
2 9nn 10140 . . 3  |-  9  e.  NN
31, 2decnncl 10395 . 2  |- ; 1 9  e.  NN
4 1nn 10011 . . 3  |-  1  e.  NN
5 9nn0 10245 . . 3  |-  9  e.  NN0
6 1lt10 10186 . . 3  |-  1  <  10
74, 5, 1, 6declti 10407 . 2  |-  1  < ; 1
9
8 4nn0 10240 . . 3  |-  4  e.  NN0
9 4t2e8 10130 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
10 df-9 10065 . . 3  |-  9  =  ( 8  +  1 )
111, 8, 9, 10dec2dvds 13399 . 2  |-  -.  2  || ; 1 9
12 3nn 10134 . . 3  |-  3  e.  NN
13 6nn0 10242 . . 3  |-  6  e.  NN0
14 8nn0 10244 . . . 4  |-  8  e.  NN0
15 8p1e9 10109 . . . 4  |-  ( 8  +  1 )  =  9
1613nn0cni 10233 . . . . 5  |-  6  e.  CC
17 3cn 10072 . . . . 5  |-  3  e.  CC
18 6t3e18 10460 . . . . 5  |-  ( 6  x.  3 )  = ; 1
8
1916, 17, 18mulcomli 9097 . . . 4  |-  ( 3  x.  6 )  = ; 1
8
201, 14, 15, 19decsuc 10405 . . 3  |-  ( ( 3  x.  6 )  +  1 )  = ; 1
9
21 1lt3 10144 . . 3  |-  1  <  3
2212, 13, 4, 20, 21ndvdsi 12930 . 2  |-  -.  3  || ; 1 9
23 2nn0 10238 . . 3  |-  2  e.  NN0
24 5nn0 10241 . . 3  |-  5  e.  NN0
25 9lt10 10178 . . 3  |-  9  <  10
26 1lt2 10142 . . 3  |-  1  <  2
271, 23, 5, 24, 25, 26decltc 10404 . 2  |- ; 1 9  < ; 2 5
283, 7, 11, 22, 27prmlem1 13430 1  |- ; 1 9  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   1c1 8991    x. cmul 8995   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   5c5 10052   6c6 10053   8c8 10055   9c9 10056  ;cdc 10382   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  2503lem3  13458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator