Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1alg Unicode version

Theorem 1alg 25722
Description: CatOLDegory  1 has the structure required by  Ded and  Cat OLD. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
1alg.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
1alg  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg

Proof of Theorem 1alg
StepHypRef Expression
1 opex 4237 . . . . 5  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
2 1alg.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
31, 2f1osn 5513 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }
4 f1of 5472 . . . 4  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
)
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }
62, 1f1osn 5513 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }
7 f1of 5472 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. }
95, 5, 83pm3.2i 1130 . 2  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )
10 opex 4237 . . . 4  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  _V
1110, 1funsn 5300 . . 3  |-  Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }
121dmsnop 5147 . . . 4  |-  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  =  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. }
131, 1f1osn 5513 . . . . . 6  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> { <. A ,  A >. }
14 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } -1-1-onto-> {
<. A ,  A >. }  ->  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. } )
1513, 14ax-mp 8 . . . . 5  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. }
16 fssxp 5400 . . . . 5  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. } : { <. A ,  A >. } --> { <. A ,  A >. }  ->  { <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )
1812, 17eqsstri 3208 . . 3  |-  dom  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )
1910rnsnop 5153 . . . 4  |-  ran  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  =  { <. A ,  A >. }
2019eqimssi 3232 . . 3  |-  ran  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. }
2111, 18, 203pm3.2i 1130 . 2  |-  ( Fun 
{ <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } )
22 snex 4216 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
23 snex 4216 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
2422, 22, 233pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )
25 snex 4216 . . 3  |-  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
262dmsnop 5147 . . . . 5  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
2726eqcomi 2287 . . . 4  |-  { <. A ,  A >. }  =  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
281dmsnop 5147 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  =  { A }
2928eqcomi 2287 . . . 4  |-  { A }  =  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }
3027, 29isalg 25721 . . 3  |-  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  /\  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  ->  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  <->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )  /\  ( Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } ) ) ) )
3124, 25, 30mp2an 653 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg  <->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } : { <. A ,  A >. } --> { A }  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. } : { A } --> { <. A ,  A >. } )  /\  ( Fun  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  /\  dom  {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  ( { <. A ,  A >. }  X.  { <. A ,  A >. } )  /\  ran  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  C_  { <. A ,  A >. } ) ) )
329, 21, 31mpbir2an 886 1  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Alg
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254    Alg calg 25711
This theorem is referenced by:  1ded  25738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-alg 25716
  Copyright terms: Public domain W3C validator