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Theorem 1arith 13295
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function  M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations  R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Distinct variable groups:    e, n, p    e, M    R, n
Allowed substitution hints:    R( e, p)    M( n, p)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables  f 
g  k  q  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10291 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
2 prmz 13083 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
32ssriv 3352 . . . . . . 7  |-  Prime  C_  ZZ
41, 3ssexi 4348 . . . . . 6  |-  Prime  e.  _V
54mptex 5966 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
6 1arith.1 . . . . 5  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
75, 6fnmpti 5573 . . . 4  |-  M  Fn  NN
861arithlem3 13293 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
9 nn0ex 10227 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
109, 4elmap 7042 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
118, 10sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
12 fzfi 11311 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... x )  e. 
Fin
13 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  x )  Fn  Prime )
14 elpreima 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x )  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' ( M `  x )
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q )  e.  NN ) ) )
158, 13, 143syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> 
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN ) ) )
1661arithlem2 13292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  x ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  x ) )
1716eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  <->  ( q  pCnt  x )  e.  NN ) )
18 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN )
19 dvdsle 12895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
202, 18, 19syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
21 pcelnn 13243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  x  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  x
)  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
2221ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
23 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
24 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
27 elfz5 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ( 1 ... x )  <->  q  <_  x ) )
2825, 26, 27syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  e.  ( 1 ... x )  <-> 
q  <_  x )
)
2920, 22, 283imtr4d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3017, 29sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3130expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3215, 31sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3332ssrdv 3354 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )
34 ssfi 7329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... x
)  e.  Fin  /\  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )  -> 
( `' ( M `
 x ) " NN )  e.  Fin )
3512, 33, 34sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
36 cnveq 5046 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  `' e  =  `' ( M `  x )
)
3736imaeq1d 5202 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' ( M `  x )
" NN ) )
3837eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
)
39 1arith.2 . . . . . . 7  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
4038, 39elrab2 3094 . . . . . 6  |-  ( ( M `  x )  e.  R  <->  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' ( M `  x )
" NN )  e. 
Fin ) )
4111, 35, 40sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  R )
4241rgen 2771 . . . 4  |-  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
43 ffnfv 5894 . . . 4  |-  ( M : NN --> R  <->  ( M  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
) )
447, 42, 43mpbir2an 887 . . 3  |-  M : NN
--> R
4516adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( q  pCnt  x )
)
4661arithlem2 13292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  y ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  y ) )
4746adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 y ) `  q )  =  ( q  pCnt  y )
)
4845, 47eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( ( M `  x ) `
 q )  =  ( ( M `  y ) `  q
)  <->  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
4948ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. q  e. 
Prime  ( ( M `  x ) `  q
)  =  ( ( M `  y ) `
 q )  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
5061arithlem3 13293 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )
51 ffn 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  y ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  y )  Fn  Prime )
52 eqfnfv 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
)  Fn  Prime  /\  ( M `  y )  Fn  Prime )  ->  (
( M `  x
)  =  ( M `
 y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( ( M `  y
) `  q )
) )
5313, 51, 52syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  x
) : Prime --> NN0  /\  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
548, 50, 53syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
55 nnnn0 10228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
56 nnnn0 10228 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
57 pc11 13253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5855, 56, 57syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
5949, 54, 583bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <-> 
x  =  y ) )
6059biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  ->  x  =  y ) )
6160rgen2a 2772 . . 3  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y )
62 dff13 6004 . . 3  |-  ( M : NN -1-1-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
6344, 61, 62mpbir2an 887 . 2  |-  M : NN
-1-1-> R
64 cnvimass 5224 . . . . . . 7  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
65 cnveq 5046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  f  ->  `' e  =  `' f
)
6665imaeq1d 5202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  f  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' f " NN ) )
6766eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  f  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
)
6867, 39elrab2 3094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  R  <->  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' f
" NN )  e. 
Fin ) )
6968simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  R  ->  f  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
709, 4elmap 7042 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  f : Prime --> NN0 )
7169, 70sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  R  ->  f : Prime --> NN0 )
72 fdm 5595 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  dom  f  =  Prime )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  =  Prime )
74 zssre 10289 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
753, 74sstri 3357 . . . . . . . 8  |-  Prime  C_  RR
7673, 75syl6eqss 3398 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  C_  RR )
7764, 76syl5ss 3359 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  C_  RR )
7868simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
79 fimaxre2 9956 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f " NN )  C_  RR  /\  ( `' f " NN )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )
8077, 78, 79syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
81 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `
 g ) ) ,  1 ) )  =  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `  g ) ) ,  1 ) )
8271ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  f : Prime --> NN0 )
83 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
84 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
85 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
8683, 84, 85sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
87 max1 10773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
8884, 83, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
89 flge0nn0 11225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
9086, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( |_ `  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) )  e. 
NN0 )
91 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9290, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9383adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  RR )
9492adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  NN )
9594nnred 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  e.  RR )
96 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  Prime )
9775, 96sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  RR )
9886adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  e.  RR )
99 max2 10775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  y  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
10084, 93, 99sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
101 flltp1 11209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y , 
y ,  0 ) )  +  1 ) )
10298, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  if (
0  <_  y , 
y ,  0 )  <  ( ( |_
`  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
10393, 98, 95, 100, 102lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 ) )
104 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_ 
q )
10593, 95, 97, 103, 104ltletrd 9230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  q )
10693, 97ltnled 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  <  q  <->  -.  q  <_  y ) )
107105, 106mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  q  <_  y )
10896biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
10982adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  f : Prime --> NN0 )
110 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  f  Fn  Prime )
111 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' f
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
112109, 110, 1113syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
113108, 112bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  q  e.  ( `' f " NN ) ) )
114 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
115 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  q  ->  (
k  <_  y  <->  q  <_  y ) )
116115rspccv 3049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  (
q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_  y
) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_ 
y ) )
118113, 117sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  ->  q  <_  y ) )
119107, 118mtod 170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  (
f `  q )  e.  NN )
120109, 96ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  e.  NN0 )
121 elnn0 10223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  q )  e.  NN0  <->  ( ( f `
 q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
122120, 121sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
123122ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( -.  ( f `  q
)  e.  NN  ->  ( f `  q )  =  0 ) )
124119, 123mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( ( |_ `  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  =  0 )
1256, 81, 82, 92, 1241arithlem4 13294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
126125ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  R  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
127126rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  ( E. y  e.  RR  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
12880, 127mpd 15 . . . 4  |-  ( f  e.  R  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
129128rgen 2771 . . 3  |-  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x )
130 dffo3 5884 . . 3  |-  ( M : NN -onto-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
13144, 129, 130mpbir2an 887 . 2  |-  M : NN -onto-> R
132 df-f1o 5461 . 2  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  <->  ( M : NN
-1-1-> R  /\  M : NN -onto-> R ) )
13363, 131, 132mpbir2an 887 1  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   |_cfl 11201   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  1arith2  13296  sqff1o  20965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211
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