Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cat Unicode version

Theorem 1cat 25862
Description: Category  1 has one object and one morphism. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
1cat.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
1cat  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Cat OLD

Proof of Theorem 1cat
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cat.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
211ded 25841 . . 3  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded
3 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( y  e.  { <. A ,  A >. }  ->  y  =  <. A ,  A >. )
4 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( z  e.  { <. A ,  A >. }  ->  z  =  <. A ,  A >. )
5 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( u  e.  { <. A ,  A >. }  ->  u  =  <. A ,  A >. )
6 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
)
7 opex 4253 . . . . . . . . . 10  |-  <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >.  e.  _V
8 opex 4253 . . . . . . . . . 10  |-  <. A ,  A >.  e.  _V
97, 8fvsn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } `  <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >.
)  =  <. A ,  A >.
106, 9eqtr2i 2317 . . . . . . . 8  |-  <. A ,  A >.  =  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )
116, 9eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  <. A ,  A >.
1210, 11oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 u )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
14 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. A ,  A >.  ->  u  =  <. A ,  A >. )
1514eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. A ,  A >.  ->  <. A ,  A >.  =  u )
16153ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  <. A ,  A >.  =  u )
17 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. A ,  A >.  ->  z  =  <. A ,  A >. )
1817eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. A ,  A >.  ->  <. A ,  A >.  =  z )
19183ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  <. A ,  A >.  =  z )
20 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  y  =  <. A ,  A >. )
2120eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  <. A ,  A >.  =  y )
22213ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  <. A ,  A >.  =  y )
2319, 22oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
2416, 23oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )
2515oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. A ,  A >.  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. A ,  A >.  ->  ( ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
27263ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
2818oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. A ,  A >.  ->  ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) )
2928oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. A ,  A >.  ->  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
30293ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )
3121oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. A ,  A >.  ->  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
32313ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
3327, 30, 323eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
3424, 33eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) )  =  ( ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  <->  ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )
3513, 34syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. A ,  A >.  /\  z  =  <. A ,  A >.  /\  u  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )
363, 4, 5, 35syl3an 1224 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { <. A ,  A >. }  /\  z  e.  { <. A ,  A >. }  /\  u  e.  { <. A ,  A >. } )  ->  (
( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u
)  =  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )
3736rgen3 2653 . . 3  |-  A. y  e.  { <. A ,  A >. } A. z  e. 
{ <. A ,  A >. } A. u  e. 
{ <. A ,  A >. }  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
382, 37pm3.2i 441 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded  /\ 
A. y  e.  { <. A ,  A >. } A. z  e.  { <. A ,  A >. } A. u  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )
39 elsni 3677 . . . . 5  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
401, 8fvsn 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
)  =  <. A ,  A >.
4140oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  (
<. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )
4241, 11eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  <. A ,  A >.
4342a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  <. A ,  A >. )
44 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
4544eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  A  =  x )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  A  =  x )
4746fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A )  =  ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x ) )
4821adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  <. A ,  A >.  =  y )
4947, 48oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  ( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )
5049, 48eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )  =  <. A ,  A >.  <->  ( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y ) )
5143, 50syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 y )  =  x  ->  ( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x ) { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y ) )
5239, 3, 51syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { <. A ,  A >. } )  ->  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y ) )
5352rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y )
5440oveq2i 5885 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) )  =  (
<. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } <. A ,  A >. )
5554, 11eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) )  =  <. A ,  A >.
5655a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) )  =  <. A ,  A >. )
5748, 47oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  ( <. A ,  A >. {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) )  =  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) ) )
5857, 48eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( <. A ,  A >. { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  A
) )  =  <. A ,  A >.  <->  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) )
5956, 58syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  <. A ,  A >. )  ->  (
( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `
 y )  =  x  ->  ( y { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) )
6039, 3, 59syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { <. A ,  A >. } )  ->  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) )
6160rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y )  =  x  ->  ( y {
<. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y )
6253, 61pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y )  /\  A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) )
63 snex 4232 . . . 4  |-  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V
64 snex 4232 . . . 4  |-  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
6563, 63, 643pm3.2i 1130 . . 3  |-  ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )
66 snex 4232 . . 3  |-  { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V
671dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. }
6867eqcomi 2300 . . . 4  |-  { <. A ,  A >. }  =  dom  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
698dmsnop 5163 . . . . 5  |-  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  =  { A }
7069eqcomi 2300 . . . 4  |-  { A }  =  dom  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }
7168, 70iscatOLD 25857 . . 3  |-  ( ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }  e.  _V  /\  { <. A ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  /\  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  e.  _V )  ->  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Cat OLD  <->  ( ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
>. ,  <. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded  /\ 
A. y  e.  { <. A ,  A >. } A. z  e.  { <. A ,  A >. } A. u  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )  /\  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y )  /\  A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) ) ) ) )
7265, 66, 71mp2an 653 . 2  |-  ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Cat OLD  <->  ( ( <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. }
>. ,  <. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Ded  /\ 
A. y  e.  { <. A ,  A >. } A. z  e.  { <. A ,  A >. } A. u  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( ( {
<. <. A ,  A >. ,  A >. } `  u )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  /\  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  z )  =  ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y ) )  -> 
( u { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( z { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) )  =  ( ( u { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } z ) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y ) ) )  /\  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( ( { <. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } y )  =  y )  /\  A. x  e.  { A } A. y  e.  { <. A ,  A >. }  ( ( { <. <. A ,  A >. ,  A >. } `  y
)  =  x  -> 
( y { <. <. <. A ,  A >. , 
<. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. }  ( {
<. A ,  <. A ,  A >. >. } `  x
) )  =  y ) ) ) )
7338, 62, 72mpbir2an 886 1  |-  <. <. { <. <. A ,  A >. ,  A >. } ,  { <. <. A ,  A >. ,  A >. } >. , 
<. { <. A ,  <. A ,  A >. >. } ,  { <. <. <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. >. ,  <. A ,  A >. >. } >. >.  e.  Cat OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Dedcded 25837    Cat OLD ccatOLD 25855
This theorem is referenced by:  ishomd  25893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-alg 25819  df-ded 25838  df-catOLD 25856
  Copyright terms: Public domain W3C validator