MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubrlem Structured version   Unicode version

Theorem 1cubrlem 20686
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1cubrlem  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  /\  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( -u
1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )

Proof of Theorem 1cubrlem
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10072 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 ax-1cn 9053 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 ax-1ne0 9064 . . . . 5  |-  1  =/=  0
42, 3negne0i 9380 . . . 4  |-  -u 1  =/=  0
5 2re 10074 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
6 3nn 10139 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
7 nndivre 10040 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( 2  /  3
)  e.  RR )
85, 6, 7mp2an 655 . . . . 5  |-  ( 2  /  3 )  e.  RR
98recni 9107 . . . 4  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
10 cxpef 20561 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( 2  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  3
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
111, 4, 9, 10mp3an 1280 . . 3  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( exp `  ( ( 2  / 
3 )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )
12 logm1 20488 . . . . . 6  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
1312oveq2i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  3
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
14 ax-icn 9054 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
15 pire 20377 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
1615recni 9107 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
179, 14, 16mul12i 9266 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( _i  x.  pi ) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
1813, 17eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( _i  x.  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
1918fveq2i 5734 . . 3  |-  ( exp `  ( ( 2  / 
3 )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )
20 6nn 10142 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
21 nndivre 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( pi  /  6
)  e.  RR )
2215, 20, 21mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  6 )  e.  RR
2322recni 9107 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  6 )  e.  CC
24 coshalfpip 20407 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  6
) ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  6 ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  -u ( sin `  ( pi 
/  6 ) )
26 2cn 10075 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
27 2ne0 10088 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
28 divrec2 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
pi  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  pi ) )
2916, 26, 27, 28mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  pi )
3020nncni 10015 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
3120nnne0i 10039 . . . . . . . . . 10  |-  6  =/=  0
32 divrec2 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  (
pi  /  6 )  =  ( ( 1  /  6 )  x.  pi ) )
3316, 30, 31, 32mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  6 )  =  ( ( 1  / 
6 )  x.  pi )
3429, 33oveq12i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  +  ( ( 1  /  6
)  x.  pi ) )
3526, 27reccli 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
3630, 31reccli 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
3735, 36, 16adddiri 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  x.  pi )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  pi )  +  ( ( 1  /  6
)  x.  pi ) )
38 halfpm6th 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  ( 1  /  6 ) )  =  ( 1  / 
3 )  /\  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  =  ( 2  / 
3 ) )
3938simpri 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
6 ) )  =  ( 2  /  3
)
4039oveq1i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( 1  /  6 ) )  x.  pi )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi )
4134, 37, 403eqtr2i 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi )
4241fveq2i 5734 . . . . . 6  |-  ( cos `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
43 sincos6thpi 20428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sin `  ( pi 
/  6 ) )  =  ( 1  / 
2 )  /\  ( cos `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 ) )
4443simpli 446 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( pi  /  6
) )  =  ( 1  /  2 )
4544negeqi 9304 . . . . . . 7  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  = 
-u ( 1  / 
2 )
46 divneg 9714 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 ) )
472, 26, 27, 46mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  2 )  =  ( -u 1  /  2 )
4845, 47eqtri 2458 . . . . . 6  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
6 ) )  =  ( -u 1  / 
2 )
4925, 42, 483eqtr3i 2466 . . . . 5  |-  ( cos `  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) )  =  (
-u 1  /  2
)
50 sinhalfpip 20405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  6 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  ( pi  /  6
) ) )  =  ( cos `  (
pi  /  6 ) ) )
5123, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( cos `  ( pi 
/  6 ) )
5241fveq2i 5734 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  6 ) ) )  =  ( sin `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )
5343simpri 450 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  ( pi  /  6
) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
5451, 52, 533eqtr3i 2466 . . . . . . 7  |-  ( sin `  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  3
)  /  2 )
5554oveq2i 6095 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( sqr `  3 )  /  2 ) )
56 3re 10076 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
57 3nn0 10244 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
5857nn0ge0i 10254 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  3
59 resqrcl 12064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( sqr `  3
)  e.  RR )
6056, 58, 59mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  3 )  e.  RR
6160recni 9107 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  3 )  e.  CC
6214, 61, 26, 27divassi 9775 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 )  =  ( _i  x.  (
( sqr `  3
)  /  2 ) )
6355, 62eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 )
6449, 63oveq12i 6096 . . . 4  |-  ( ( cos `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( 2  /  3 )  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( -u 1  / 
2 )  +  ( ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )  /  2 ) )
659, 16mulcli 9100 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  pi )  e.  CC
66 efival 12758 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  pi )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  / 
3 )  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . 4  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( cos `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) ) )
6814, 61mulcli 9100 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( sqr `  3
) )  e.  CC
691, 68, 26, 27divdiri 9776 . . . 4  |-  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  =  ( ( -u
1  /  2 )  +  ( ( _i  x.  ( sqr `  3
) )  /  2
) )
7064, 67, 693eqtr4i 2468 . . 3  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  /  3
)  x.  pi ) ) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
7111, 19, 703eqtri 2462 . 2  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  =  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
72 1z 10316 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
73 root1cj 20645 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 ) )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
3 ) ) ^
( 3  -  1 ) ) )
746, 72, 73mp2an 655 . . 3  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ (
3  -  1 ) )
75 cxpcl 20570 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  3
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  e.  CC )
761, 9, 75mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )  e.  CC
77 exp1 11392 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  e.  CC  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 )  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
3 ) ) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 )  =  ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) )
7978, 71eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 1 )  =  ( (
-u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
8079fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( * `
 ( ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )
811, 68addcli 9099 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  e.  CC
8281, 26cjdivi 12001 . . . . 5  |-  ( 2  =/=  0  ->  (
* `  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( * `  ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  /  (
* `  2 )
) )
8327, 82ax-mp 5 . . . 4  |-  ( * `
 ( ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( * `  ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  /  (
* `  2 )
)
841, 68cjaddi 11998 . . . . . 6  |-  ( * `
 ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( ( * `  -u 1 )  +  ( * `  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) ) )
85 1re 9095 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8685renegcli 9367 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
87 cjre 11949 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( * `  -u 1
)  =  -u 1
)
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( * `
 -u 1 )  = 
-u 1
8914, 61cjmuli 11999 . . . . . . . 8  |-  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  ( sqr `  3
) ) )
90 cji 11969 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
91 cjre 11949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  3 )  e.  RR  ->  (
* `  ( sqr `  3 ) )  =  ( sqr `  3
) )
9260, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 ( sqr `  3
) )  =  ( sqr `  3 )
9390, 92oveq12i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  ( sqr `  3 ) ) )  =  (
-u _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9414, 61mulneg1i 9484 . . . . . . . 8  |-  ( -u _i  x.  ( sqr `  3
) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9589, 93, 943eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  -u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) )
9688, 95oveq12i 6096 . . . . . 6  |-  ( ( * `  -u 1
)  +  ( * `
 ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( -u 1  + 
-u ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
971, 68negsubi 9383 . . . . . 6  |-  ( -u
1  +  -u (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  =  ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
9884, 96, 973eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( * `
 ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) ) )  =  ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )
99 cjre 11949 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
* `  2 )  =  2 )
1005, 99ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( * `
 2 )  =  2
10198, 100oveq12i 6096 . . . 4  |-  ( ( * `  ( -u
1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) ) )  /  ( * ` 
2 ) )  =  ( ( -u 1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2
)
10280, 83, 1013eqtri 2462 . . 3  |-  ( * `
 ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 1 ) )  =  ( (
-u 1  -  (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
103 3m1e2 10101 . . . 4  |-  ( 3  -  1 )  =  2
104103oveq2i 6095 . . 3  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ (
3  -  1 ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 2 )
10574, 102, 1043eqtr3ri 2467 . 2  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) ) ^ 2 )  =  ( (
-u 1  -  (
_i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )
10671, 105pm3.2i 443 1  |-  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  3
) )  =  ( ( -u 1  +  ( _i  x.  ( sqr `  3 ) ) )  /  2 )  /\  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  3 ) ) ^ 2 )  =  ( ( -u
1  -  ( _i  x.  ( sqr `  3
) ) )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   6c6 10058   ZZcz 10287   ^cexp 11387   *ccj 11906   sqrcsqr 12043   expce 12669   sincsin 12671   cosccos 12672   picpi 12674   logclog 20457    ^ c ccxp 20458
This theorem is referenced by:  1cubr  20687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-cxp 20460
  Copyright terms: Public domain W3C validator