Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvratex Structured version   Unicode version

Theorem 1cvratex 30197
 Description: There exists an atom less than an element covered by 1. (Contributed by NM, 7-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvratex.b
1cvratex.s
1cvratex.u
1cvratex.c
1cvratex.a
Assertion
Ref Expression
1cvratex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1cvratex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3
2 1cvratex.b . . . . 5
3 1cvratex.u . . . . 5
4 eqid 2435 . . . . 5
5 1cvratex.c . . . . 5
6 1cvratex.a . . . . 5
72, 3, 4, 5, 61cvrco 30196 . . . 4
87biimp3a 1283 . . 3
9 eqid 2435 . . . 4
109, 5, 62dim 30194 . . 3
111, 8, 10syl2anc 643 . 2
12 simp11 987 . . . . . 6
13 hlop 30087 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
15 hllat 30088 . . . . . . . . 9
1612, 15syl 16 . . . . . . . 8
17 simp12 988 . . . . . . . . 9
182, 4opoccl 29919 . . . . . . . . 9
1914, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8
20 simp2l 983 . . . . . . . . 9
212, 6atbase 30014 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8
232, 9latjcl 14471 . . . . . . . 8
2416, 19, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7
252, 4opoccl 29919 . . . . . . 7
2614, 24, 25syl2anc 643 . . . . . 6
27 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . 13
282, 6atbase 30014 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12
302, 9latjcl 14471 . . . . . . . . . . . 12
3116, 24, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
322, 4opoccl 29919 . . . . . . . . . . 11
3314, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
362, 34, 35op0le 29911 . . . . . . . . . 10
3714, 33, 36syl2anc 643 . . . . . . . . 9
38 simp3r 986 . . . . . . . . . . 11
39 1cvratex.s . . . . . . . . . . . 12
402, 39, 5cvrlt 29995 . . . . . . . . . . 11
4112, 24, 31, 38, 40syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
422, 39, 4opltcon3b 29929 . . . . . . . . . . 11
4314, 24, 31, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
4441, 43mpbid 202 . . . . . . . . 9
45 hlpos 30090 . . . . . . . . . . 11
4612, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
472, 35op0cl 29909 . . . . . . . . . . 11
4814, 47syl 16 . . . . . . . . . 10
492, 34, 39plelttr 14421 . . . . . . . . . 10
5046, 48, 33, 26, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . 9
5137, 44, 50mp2and 661 . . . . . . . 8
5239pltne 14411 . . . . . . . . 9
5312, 48, 26, 52syl3anc 1184 . . . . . . . 8
5451, 53mpd 15 . . . . . . 7
5554necomd 2681 . . . . . 6
562, 34, 35, 6atle 30160 . . . . . 6
5712, 26, 55, 56syl3anc 1184 . . . . 5
58 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11
592, 39, 5cvrlt 29995 . . . . . . . . . . 11
6012, 19, 24, 58, 59syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
612, 39, 4opltcon3b 29929 . . . . . . . . . . 11
6214, 19, 24, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
6360, 62mpbid 202 . . . . . . . . 9
642, 4opococ 29920 . . . . . . . . . 10
6514, 17, 64syl2anc 643 . . . . . . . . 9
6663, 65breqtrd 4228 . . . . . . . 8
6766adantr 452 . . . . . . 7
68 simpl11 1032 . . . . . . . . 9
6968, 45syl 16 . . . . . . . 8
702, 6atbase 30014 . . . . . . . . 9
7170adantl 453 . . . . . . . 8
7226adantr 452 . . . . . . . 8
73 simpl12 1033 . . . . . . . 8
742, 34, 39plelttr 14421 . . . . . . . 8
7569, 71, 72, 73, 74syl13anc 1186 . . . . . . 7
7667, 75mpan2d 656 . . . . . 6
7776reximdva 2810 . . . . 5
7857, 77mpd 15 . . . 4
79783exp 1152 . . 3
8079rexlimdvv 2828 . 2
8111, 80mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  cple 13528  coc 13529  cpo 14389  cplt 14390  cjn 14393  cp0 14458  cp1 14459  clat 14466  cops 29897   ccvr 29987  catm 29988  chlt 30075 This theorem is referenced by:  1cvratlt  30198  lhpexlt  30726 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076
 Copyright terms: Public domain W3C validator