Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Unicode version

Theorem 1cvrco 30283
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
1cvrco.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1cvrco.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1cvrco.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
1cvrco.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
1cvrco  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 30174 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
3 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
4 1cvrco.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 1cvrco.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
64, 5op1cl 29997 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
72, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  .1.  e.  B )
8 1cvrco.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
9 1cvrco.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
104, 8, 9cvrcon3b 30089 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
112, 3, 7, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1312, 5, 8opoc1 30014 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K
) )
142, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K ) )
1514breq1d 4049 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X
)  <->  ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X ) ) )
164, 8opoccl 30006 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
171, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1817biantrurd 494 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
1911, 15, 183bitrd 270 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
20 1cvrco.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 12, 9, 20isat 30098 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
(  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K
) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2221adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2319, 22bitr4d 247 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   occoc 13232   0.cp0 14159   1.cp1 14160   OPcops 29984    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  1cvratex  30284  lhpoc  30825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-p0 14161  df-p1 14162  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator