Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cvrco Structured version   Unicode version

Theorem 1cvrco 30331
Description: The orthocomplement of an element covered by 1 is an atom. (Contributed by NM, 7-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
1cvrco.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
1cvrco.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1cvrco.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
1cvrco.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
1cvrco.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
1cvrco  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )

Proof of Theorem 1cvrco
StepHypRef Expression
1 hlop 30222 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
3 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
4 1cvrco.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 1cvrco.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
64, 5op1cl 30045 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
72, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  .1.  e.  B )
8 1cvrco.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
9 1cvrco.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
104, 8, 9cvrcon3b 30137 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
112, 3, 7, 10syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X ) ) )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
1312, 5, 8opoc1 30062 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K
) )
142, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  .1.  )  =  ( 0. `  K ) )
1514breq1d 4224 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  .1.  ) C (  ._|_  `  X
)  <->  ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X ) ) )
164, 8opoccl 30054 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
171, 16sylan 459 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1817biantrurd 496 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K ) C ( 
._|_  `  X )  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
1911, 15, 183bitrd 272 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
20 1cvrco.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 12, 9, 20isat 30146 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
(  ._|_  `  X )  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0. `  K
) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2221adantr 453 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  e.  A  <->  ( (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) C (  ._|_  `  X ) ) ) )
2319, 22bitr4d 249 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X C  .1.  <->  ( 
._|_  `  X )  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Basecbs 13471   occoc 13539   0.cp0 14468   1.cp1 14469   OPcops 30032    <o ccvr 30122   Atomscatm 30123   HLchlt 30210
This theorem is referenced by:  1cvratex  30332  lhpoc  30873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-p0 14470  df-p1 14471  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-hlat 30211
  Copyright terms: Public domain W3C validator