Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1dimN Structured version   Unicode version

Theorem 1dimN 30268
Description: An atom is covered by a height-2 element (1-dimensional line). (Contributed by NM, 3-May-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2dim.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
2dim.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
1dimN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  P C ( P  .\/  q ) )
Distinct variable groups:    A, q    .\/ , q    K, q    P, q
Allowed substitution hint:    C( q)

Proof of Theorem 1dimN
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 2dim.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
3 2dim.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 32dim 30267 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( P C ( P 
.\/  q )  /\  ( P  .\/  q ) C ( ( P 
.\/  q )  .\/  r ) ) )
5 r19.42v 2862 . . . 4  |-  ( E. r  e.  A  ( P C ( P 
.\/  q )  /\  ( P  .\/  q ) C ( ( P 
.\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( P C ( P  .\/  q )  /\  E. r  e.  A  ( P  .\/  q ) C ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
65simplbi 447 . . 3  |-  ( E. r  e.  A  ( P C ( P 
.\/  q )  /\  ( P  .\/  q ) C ( ( P 
.\/  q )  .\/  r ) )  ->  P C ( P  .\/  q ) )
76reximi 2813 . 2  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( P C ( P  .\/  q )  /\  ( P  .\/  q ) C ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) )  ->  E. q  e.  A  P C
( P  .\/  q
) )
84, 7syl 16 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  P C ( P  .\/  q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   joincjn 14401    <o ccvr 30060   Atomscatm 30061   HLchlt 30148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
  Copyright terms: Public domain W3C validator