MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Unicode version

Theorem 1exp 11296
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 8980 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3756 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 ax-1ne0 8953 . . 3  |-  1  =/=  0
4 ax-1cn 8942 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 3857 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3753 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3753 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 5990 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 10019 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2414 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 ovex 6006 . . . . . 6  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1413elsnc 3752 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 1 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  1 )
1512, 14sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
167oveq2d 5997 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
174div1i 9635 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2414 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
19 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2019elsnc 3752 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { 1 }  <-> 
( 1  /  x
)  =  1 )
2118, 20sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2221adantr 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
236, 15, 2, 22expcl2lem 11280 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
242, 3, 23mp3an12 1268 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
25 elsni 3753 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
2624, 25syl 15 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    C_ wss 3238   {csn 3729  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    / cdiv 9570   ZZcz 10175   ^cexp 11269
This theorem is referenced by:  exprec  11308  sq1  11363  iexpcyc  11372  faclbnd4lem1  11471  iseraltlem2  12363  iseraltlem3  12364  binom1p  12497  binom11  12498  esum  12570  ege2le3  12579  eirrlem  12690  odzdvds  13068  iblabsr  19399  iblmulc2  19400  abelthlem1  20025  abelthlem3  20027  abelthlem8  20033  abelthlem9  20034  ef2kpi  20064  root1cj  20318  cxpeq  20319  quart  20379  leibpi  20460  log2cnv  20462  mule1  20609  lgseisenlem1  20811  lgseisenlem4  20814  lgseisen  20815  lgsquadlem1  20816  lgsquad2lem1  20820  m1lgs  20824  dchrisum0flblem1  20880  subfaclim  24322  iblmulc2nc  25688  expdioph  26622  lhe4.4ex1a  27052  stoweidlem7  27262  stirlinglem5  27333  stirlinglem7  27335  stirlinglem10  27338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-seq 11211  df-exp 11270
  Copyright terms: Public domain W3C validator