MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1exp Unicode version

Theorem 1exp 11131
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 8833 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3667 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 ax-1ne0 8806 . . 3  |-  1  =/=  0
4 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 3759 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3664 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 9870 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( x  x.  y )  e. 
_V
1413elsnc 3663 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { 1 }  <-> 
( x  x.  y
)  =  1 )
1512, 14sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
167oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
174div1i 9488 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
1816, 17syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
19 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2019elsnc 3663 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { 1 }  <-> 
( 1  /  x
)  =  1 )
2118, 20sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2221adantr 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
236, 15, 2, 22expcl2lem 11115 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
242, 3, 23mp3an12 1267 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
25 elsni 3664 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
2624, 25syl 15 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   {csn 3640  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  exprec  11143  sq1  11198  iexpcyc  11207  faclbnd4lem1  11306  iseraltlem2  12155  iseraltlem3  12156  binom1p  12289  binom11  12290  esum  12362  ege2le3  12371  eirrlem  12482  odzdvds  12860  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  abelthlem1  19807  abelthlem3  19809  abelthlem8  19815  abelthlem9  19816  ef2kpi  19846  root1cj  20096  cxpeq  20097  quart  20157  leibpi  20238  log2cnv  20240  mule1  20386  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquad2lem1  20597  m1lgs  20601  dchrisum0flblem1  20657  subfaclim  23719  expdioph  27116  lhe4.4ex1a  27546  stoweidlem7  27756  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator