Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1iskle Unicode version

Theorem 1iskle 26092
Description: Symbols and variables belong to the Kleene star of  NN. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
1iskle  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )

Proof of Theorem 1iskle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 9997 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
3 f1osng 5530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A } )
42, 3mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A } )
5 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A }
)
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A } )
7 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  { A }  C_  NN )
8 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A }  /\  { A }  C_  NN )  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN )
10 1z 10069 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
11 fzsn 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1413feq2d 5396 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN  <->  {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN ) )
159, 14mpbird 223 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN )
16 nnex 9768 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
17 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 1 )  e. 
_V
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... 1 )  e. 
_V )
19 elmapg 6801 . . . . . 6  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... 1
)  e.  _V )  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN ) )
2016, 18, 19sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... 1 ) )  <->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN ) )
2115, 20mpbird 223 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1
) ) )
22 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2322oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( NN  ^m  (
1 ... 1 ) ) )
2423eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) )  <->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ) )
2524rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  {
<. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... 1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  {
<. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) ) )
261, 21, 25sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN0  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) ) )
27 eliun 3925 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. }  e.  U_ n  e.  NN0  ( NN  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  E. n  e.  NN0  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) ) )
2826, 27sylibr 203 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  U_ n  e. 
NN0  ( NN  ^m  ( 1 ... n
) ) )
29 isKleene 26091 . . 3  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( Kleene `
 NN )  = 
U_ n  e.  NN0  ( NN  ^m  (
1 ... n ) ) )
3016, 29ax-mp 8 . 2  |-  ( Kleene `  NN )  =  U_ n  e.  NN0  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) )
3128, 30syl6eleqr 2387 1  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   U_ciun 3921   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   Kleeneckln 26083
This theorem is referenced by:  smbkle  26146  fnckle  26148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-kle 26090
  Copyright terms: Public domain W3C validator