Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1iskle Unicode version

Theorem 1iskle 25989
Description: Symbols and variables belong to the Kleene star of  NN. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
1iskle  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )

Proof of Theorem 1iskle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 9981 . . . 4  |-  1  e.  NN0
2 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
3 f1osng 5514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A } )
42, 3mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A } )
5 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } -1-1-onto-> { A }  ->  {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A }
)
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A } )
7 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  { A }  C_  NN )
8 fss 5397 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> { A }  /\  { A }  C_  NN )  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN )
10 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
11 fzsn 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1413feq2d 5380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN  <->  {
<. 1 ,  A >. } : { 1 } --> NN ) )
159, 14mpbird 223 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN )
16 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
17 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 1 )  e. 
_V
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... 1 )  e. 
_V )
19 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( 1 ... 1
)  e.  _V )  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN ) )
2016, 18, 19sylancr 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... 1 ) )  <->  { <. 1 ,  A >. } : ( 1 ... 1 ) --> NN ) )
2115, 20mpbird 223 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1
) ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
2322oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( NN  ^m  (
1 ... 1 ) ) )
2423eleq2d 2350 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) )  <->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ) )
2524rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  {
<. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... 1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  {
<. 1 ,  A >. }  e.  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) ) )
261, 21, 25sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN0  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) ) )
27 eliun 3909 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  A >. }  e.  U_ n  e.  NN0  ( NN  ^m  ( 1 ... n
) )  <->  E. n  e.  NN0  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( NN  ^m  ( 1 ... n ) ) )
2826, 27sylibr 203 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  U_ n  e. 
NN0  ( NN  ^m  ( 1 ... n
) ) )
29 isKleene 25988 . . 3  |-  ( NN  e.  _V  ->  ( Kleene `
 NN )  = 
U_ n  e.  NN0  ( NN  ^m  (
1 ... n ) ) )
3016, 29ax-mp 8 . 2  |-  ( Kleene `  NN )  =  U_ n  e.  NN0  ( NN 
^m  ( 1 ... n ) )
3128, 30syl6eleqr 2374 1  |-  ( A  e.  NN  ->  { <. 1 ,  A >. }  e.  ( Kleene `  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980
This theorem is referenced by:  smbkle  26043  fnckle  26045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-kle 25987
  Copyright terms: Public domain W3C validator