MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Structured version   Unicode version

Theorem 1lt2pi 8784
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6884 . . . . 5  |-  1o  e.  om
2 nna0 6849 . . . . 5  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  +o  (/) )  =  1o )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  =  1o
4 0lt1o 6750 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
5 peano1 4866 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 nnaord 6864 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  1o  e.  om  /\  1o  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o ) ) )
75, 1, 1, 6mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o 
+o  1o ) )
84, 7mpbi 201 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o )
93, 8eqeltrri 2509 . . 3  |-  1o  e.  ( 1o  +o  1o )
10 1pi 8762 . . . 4  |-  1o  e.  N.
11 addpiord 8763 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
1210, 10, 11mp2an 655 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
139, 12eleqtrri 2511 . 2  |-  1o  e.  ( 1o  +N  1o )
14 addclpi 8771 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
1510, 10, 14mp2an 655 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
16 ltpiord 8766 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( 1o  +N  1o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  ( 1o  +N  1o )  <->  1o  e.  ( 1o  +N  1o ) ) )
1710, 15, 16mp2an 655 . 2  |-  ( 1o 
<N  ( 1o  +N  1o ) 
<->  1o  e.  ( 1o 
+N  1o ) )
1813, 17mpbir 202 1  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   omcom 4847  (class class class)co 6083   1oc1o 6719    +o coa 6723   N.cnpi 8721    +N cpli 8722    <N clti 8724
This theorem is referenced by:  1lt2nq  8852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-ni 8751  df-pli 8752  df-lti 8754
  Copyright terms: Public domain W3C validator