MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1ne0sr Unicode version

Theorem 1ne0sr 8718
Description: 1 and 0 are distinct for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1ne0sr  |-  -.  1R  =  0R

Proof of Theorem 1ne0sr
StepHypRef Expression
1 ltsosr 8716 . . 3  |-  <R  Or  R.
2 1sr 8703 . . 3  |-  1R  e.  R.
3 sonr 4335 . . 3  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  -.  1R  <R  1R )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  -.  1R  <R  1R
5 0lt1sr 8717 . . 3  |-  0R  <R  1R
6 breq1 4026 . . 3  |-  ( 1R  =  0R  ->  ( 1R  <R  1R  <->  0R  <R  1R )
)
75, 6mpbiri 224 . 2  |-  ( 1R  =  0R  ->  1R  <R  1R )
84, 7mto 167 1  |-  -.  1R  =  0R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    Or wor 4313   R.cnr 8489   0Rc0r 8490   1Rc1r 8491    <R cltr 8495
This theorem is referenced by:  ax1ne0  8782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-plp 8607  df-ltp 8609  df-enr 8681  df-nr 8682  df-ltr 8685  df-0r 8686  df-1r 8687
  Copyright terms: Public domain W3C validator