MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Unicode version

Theorem 1nprm 12779
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
31, 2mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
4 nnnn0 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
5 dvds1 12593 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
76bicomd 192 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
83, 7biadan2 623 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
9 elsn 3668 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
10 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1110elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
128, 9, 113bitr4ri 269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1312eqriv 2293 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
14 1ex 8849 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1514ensn1 6941 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1613, 15eqbrtri 4058 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
17 1sdom2 7077 . . . 4  |-  1o  ~<  2o
18 ensdomtr 7013 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o )
1916, 17, 18mp2an 653 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o
20 sdomnen 6906 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o 
->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
2119, 20ax-mp 8 . 2  |-  -.  {
n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o
22 isprm 12776 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
231, 22mpbiran 884 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  2o )
2421, 23mtbir 290 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   {csn 3653   class class class wbr 4039   1oc1o 6488   2oc2o 6489    ~~ cen 6876    ~< csdm 6878   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  isprm2  12782  nprmdvds1  12806  pcmpt  12956  prmlem1a  13124  prmcyg  15196  prmirredlem  16462  bposlem5  20543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator