MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Unicode version

Theorem 1nprm 12763
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
31, 2mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
4 nnnn0 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
5 dvds1 12577 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
76bicomd 192 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
83, 7biadan2 623 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
9 elsn 3655 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
10 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1110elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
128, 9, 113bitr4ri 269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1312eqriv 2280 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
14 1ex 8833 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1514ensn1 6925 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1613, 15eqbrtri 4042 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
17 1sdom2 7061 . . . 4  |-  1o  ~<  2o
18 ensdomtr 6997 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o )
1916, 17, 18mp2an 653 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o
20 sdomnen 6890 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o 
->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
2119, 20ax-mp 8 . 2  |-  -.  {
n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o
22 isprm 12760 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
231, 22mpbiran 884 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  2o )
2421, 23mtbir 290 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   {csn 3640   class class class wbr 4023   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~~ cen 6860    ~< csdm 6862   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  isprm2  12766  nprmdvds1  12790  pcmpt  12940  prmlem1a  13108  prmcyg  15180  prmirredlem  16446  bposlem5  20527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator