MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Unicode version

Theorem 1nprm 13084
Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm  |-  -.  1  e.  Prime

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10011 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
31, 2mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  z  e.  NN )
4 nnnn0 10228 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
5 dvds1 12898 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z 
||  1  <->  z  = 
1 ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  ||  1  <->  z  = 
1 ) )
76bicomd 193 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  <->  z  ||  1 ) )
83, 7biadan2 624 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
9 elsn 3829 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
10 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  z  ->  (
n  ||  1  <->  z  ||  1 ) )
1110elrab 3092 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  ( z  e.  NN  /\  z  ||  1 ) )
128, 9, 113bitr4ri 270 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  <->  z  e.  {
1 } )
1312eqriv 2433 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  =  {
1 }
14 1ex 9086 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
1514ensn1 7171 . . . . 5  |-  { 1 }  ~~  1o
1613, 15eqbrtri 4231 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  1o
17 1sdom2 7307 . . . 4  |-  1o  ~<  2o
18 ensdomtr 7243 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o )
1916, 17, 18mp2an 654 . . 3  |-  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o
20 sdomnen 7136 . . 3  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~<  2o 
->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o )
2119, 20ax-mp 8 . 2  |-  -.  {
n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o
22 isprm 13081 . . 3  |-  ( 1  e.  Prime  <->  ( 1  e.  NN  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  1 }  ~~  2o ) )
231, 22mpbiran 885 . 2  |-  ( 1  e.  Prime  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  1 } 
~~  2o )
2421, 23mtbir 291 1  |-  -.  1  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   {csn 3814   class class class wbr 4212   1oc1o 6717   2oc2o 6718    ~~ cen 7106    ~< csdm 7108   1c1 8991   NNcn 10000   NN0cn0 10221    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  isprm2  13087  nprmdvds1  13111  pcmpt  13261  prmlem1a  13429  prmcyg  15503  prmirredlem  16773  bposlem5  21072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator