MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nqenq Unicode version

Theorem 1nqenq 8586
Description: The equivalence class of ratio 1. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1nqenq  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )

Proof of Theorem 1nqenq
StepHypRef Expression
1 enqer 8545 . . 3  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
21a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
3 mulidpi 8510 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
43, 3opeq12d 3804 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  =  <. A ,  A >. )
5 1pi 8507 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
6 mulcanenq 8584 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
75, 5, 6mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  <. 1o ,  1o >. )
8 df-1nq 8540 . . . 4  |-  1Q  =  <. 1o ,  1o >.
97, 8syl6breqr 4063 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. ( A  .N  1o ) ,  ( A  .N  1o ) >.  ~Q  1Q )
104, 9eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  <. A ,  A >.  ~Q  1Q )
112, 10ersym 6672 1  |-  ( A  e.  N.  ->  1Q  ~Q 
<. A ,  A >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    Er wer 6657   N.cnpi 8466    .N cmi 8468    ~Q ceq 8473   1Qc1q 8475
This theorem is referenced by:  recmulnq  8588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-enq 8535  df-1nq 8540
  Copyright terms: Public domain W3C validator