MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pi Unicode version

Theorem 1pi 8597
Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pi  |-  1o  e.  N.

Proof of Theorem 1pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6724 . 2  |-  1o  e.  om
2 1n0 6581 . 2  |-  1o  =/=  (/)
3 elni 8590 . 2  |-  ( 1o  e.  N.  <->  ( 1o  e.  om  /\  1o  =/=  (/) ) )
41, 2, 3mpbir2an 886 1  |-  1o  e.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710    =/= wne 2521   (/)c0 3531   omcom 4738   1oc1o 6559   N.cnpi 8556
This theorem is referenced by:  mulidpi  8600  1lt2pi  8619  nlt1pi  8620  indpi  8621  pinq  8641  1nq  8642  1nqenq  8676  mulidnq  8677  1lt2nq  8687  archnq  8694  prlem934  8747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-1o 6566  df-ni 8586
  Copyright terms: Public domain W3C validator