MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1pi Structured version   Unicode version

Theorem 1pi 8791
Description: Ordinal 'one' is a positive integer. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1pi  |-  1o  e.  N.

Proof of Theorem 1pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6911 . 2  |-  1o  e.  om
2 1n0 6768 . 2  |-  1o  =/=  (/)
3 elni 8784 . 2  |-  ( 1o  e.  N.  <->  ( 1o  e.  om  /\  1o  =/=  (/) ) )
41, 2, 3mpbir2an 888 1  |-  1o  e.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1727    =/= wne 2605   (/)c0 3613   omcom 4874   1oc1o 6746   N.cnpi 8750
This theorem is referenced by:  mulidpi  8794  1lt2pi  8813  nlt1pi  8814  indpi  8815  pinq  8835  1nq  8836  1nqenq  8870  mulidnq  8871  1lt2nq  8881  archnq  8888  prlem934  8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-1o 6753  df-ni 8780
  Copyright terms: Public domain W3C validator