Theorem 1pr 5129

Description: The positive real number 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1pr	|- 1P e. P.

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnp 5104	. 2 |- (1P e. P. <-> (((/) (. 1P /\ 1P (. Q.) /\ A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)))
2		1lt2pq 5090	. . . . . . 7 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
3		1q 5069	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. Q.
4	3	elisseti 1821	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. V
5		oprex 3989	. . . . . . . . 9 |- (1Q +Q 1Q) e. V
6	4, 5	ltrpq 5097	. . . . . . . 8 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q (*Q` 1Q))
7		fvex 3738	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. V
8	7, 4	mulcompq 5076	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (1Q .Q (*Q` 1Q))
9		recclpq 5084	. . . . . . . . . . 11 |- (1Q e. Q. -> (*Q` 1Q) e. Q.)
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (*Q` 1Q) e. Q.
11		mulidpq 5081	. . . . . . . . . 10 |- ((*Q` 1Q) e. Q. -> ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((*Q` 1Q) .Q 1Q) = (*Q` 1Q)
13		recidpq 5083	. . . . . . . . . 10 |- (1Q e. Q. -> (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q)
14	3, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (1Q .Q (*Q` 1Q)) = 1Q
15	8, 12, 14	3eqtr3 1506	. . . . . . . 8 |- (*Q` 1Q) = 1Q
16	6, 15	syl6breq 2659	. . . . . . 7 |- (1Q <Q (1Q +Q 1Q) -> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q
18		fvex 3738	. . . . . . 7 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. V
19		breq1 2627	. . . . . . 7 |- (x = (*Q` (1Q +Q 1Q)) -> (x <Q 1Q <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q))
20		df-1p 5099	. . . . . . 7 |- 1P = {x | x <Q 1Q}
21	18, 19, 20	elab2 1904	. . . . . 6 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P <-> (*Q` (1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
22	17, 21	mpbir 190	. . . . 5 |- (*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P
23		ne0i 2289	. . . . 5 |- ((*Q` (1Q +Q 1Q)) e. 1P -> 1P =/= (/))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . 4 |- 1P =/= (/)
25		0pss 2312	. . . 4 |- ((/) (. 1P <-> 1P =/= (/))
26	24, 25	mpbir 190	. . 3 |- (/) (. 1P
27		dfpss2 2136	. . . 4 |- (1P (. Q. <-> (1P (_ Q. /\ -. 1P = Q.))
28	20	abeq2i 1573	. . . . . 6 |- (x e. 1P <-> x <Q 1Q)
29		ltrelpq 5063	. . . . . . . 8 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
30	4, 29	brel 3229	. . . . . . 7 |- (x <Q 1Q -> (x e. Q. /\ 1Q e. Q.))
31	30	pm3.26d 321	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> x e. Q.)
32	28, 31	sylbi 199	. . . . 5 |- (x e. 1P -> x e. Q.)
33	32	ssriv 2072	. . . 4 |- 1P (_ Q.
34		ltsopq 5087	. . . . . . 7 |- <Q Or Q.
35	4, 34, 29	soirri 3448	. . . . . 6 |- -. 1Q <Q 1Q
36		breq1 2627	. . . . . . 7 |- (x = 1Q -> (x <Q 1Q <-> 1Q <Q 1Q))
37	4, 36, 20	elab2 1904	. . . . . 6 |- (1Q e. 1P <-> 1Q <Q 1Q)
38	35, 37	mtbir 192	. . . . 5 |- -. 1Q e. 1P
39		eleq2 1538	. . . . . 6 |- (1P = Q. -> (1Q e. 1P <-> 1Q e. Q.))
40	3, 39	mpbiri 194	. . . . 5 |- (1P = Q. -> 1Q e. 1P)
41	38, 40	mto 106	. . . 4 |- -. 1P = Q.
42	27, 33, 41	mpbir2an 732	. . 3 |- 1P (. Q.
43	26, 42	pm3.2i 285	. 2 |- ((/) (. 1P /\ 1P (. Q.)
44		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
45		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
46	44, 34, 29, 45, 4	sotri 3449	. . . . . . . 8 |- ((y <Q x /\ x <Q 1Q) -> y <Q 1Q)
47	46	ex 373	. . . . . . 7 |- (y <Q x -> (x <Q 1Q -> y <Q 1Q))
48		df-1p 5099	. . . . . . . 8 |- 1P = {y | y <Q 1Q}
49	48	abeq2i 1573	. . . . . . 7 |- (y e. 1P <-> y <Q 1Q)
50	47, 28, 49	3imtr4g 555	. . . . . 6 |- (y <Q x -> (x e. 1P -> y e. 1P))
51	50	com12 11	. . . . 5 |- (x e. 1P -> (y <Q x -> y e. 1P))
52	51	19.21aiv 1288	. . . 4 |- (x e. 1P -> A.y(y <Q x -> y e. 1P))
53	45, 4	ltbtwnpq 5096	. . . . . 6 |- (x <Q 1Q -> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
54	49	anbi1i 483	. . . . . . . 8 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (y <Q 1Q /\ x <Q y))
55		ancom 437	. . . . . . . 8 |- ((y <Q 1Q /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
56	54, 55	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. 1P /\ x <Q y) <-> (x <Q y /\ y <Q 1Q))
57	56	exbii 1053	. . . . . 6 |- (E.y(y e. 1P /\ x <Q y) <-> E.y(x <Q y /\ y <Q 1Q))
58	53, 28, 57	3imtr4 219	. . . . 5 |- (x e. 1P -> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
59		df-rex 1653	. . . . 5 |- (E.y e. 1P x <Q y <-> E.y(y e. 1P /\ x <Q y))
60	58, 59	sylibr 200	. . . 4 |- (x e. 1P -> E.y e. 1P x <Q y)
61	52, 60	jca 288	. . 3 |- (x e. 1P -> (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y))
62	61	rgen 1701	. 2 |- A.x e. 1P (A.y(y <Q x -> y e. 1P) /\ E.y e. 1P x <Q y)
63	1, 43, 62	mpbir2an 732	1 |- 1P e. P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050   (. wpss 2051  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Q.cnq 4991  1Qc1q 4992   +Q cplq 4993   .Q cmq 4994  *Qcrq 4995   <Q cltq 4996  P.cnp 4997  1Pc1p 4998

This theorem is referenced by:  1idpr 5145  recexpr 5172  gt0srpr 5199  0r 5201  1r 5202  m1r 5203  m1p1sr 5213  m1m1sr 5214  0lt1sr 5216  0idsr 5218  1idsr 5219  00sr 5220  recexsrlem 5224  mappsrpr 5230  ltpsrpr 5231  map2psrpr 5232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099

Copyright terms: Public domain