Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Structured version   Unicode version

Theorem 1sdom 7314
 Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 7182.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4219 . 2
2 rexeq 2907 . . 3
32rexeqbi1dv 2915 . 2
4 1onn 6885 . . . 4
5 sucdom 7307 . . . 4
64, 5ax-mp 5 . . 3
7 df-2o 6728 . . . 4
87breq1i 4222 . . 3
9 2dom 7182 . . . 4
10 df2o3 6740 . . . . 5
11 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
12 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
13 0ex 4342 . . . . . . . . . . . 12
144elexi 2967 . . . . . . . . . . . 12
1511, 12, 13, 14funpr 5505 . . . . . . . . . . 11
16 df-ne 2603 . . . . . . . . . . 11
17 1n0 6742 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necomi 2688 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 14, 11, 12fpr 5917 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
21 df-f1 5462 . . . . . . . . . . . . 13
2220, 21mpbiran 886 . . . . . . . . . . . 12
2313, 11cnvsn 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15
2414, 12cnvsn 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24uneq12i 3501 . . . . . . . . . . . . . 14
26 df-pr 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726cnveqi 5050 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cnvun 5280 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14
30 df-pr 3823 . . . . . . . . . . . . . 14
3125, 29, 303eqtr4i 2468 . . . . . . . . . . . . 13
3231funeqi 5477 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32bitr2i 243 . . . . . . . . . . 11
3415, 16, 333imtr3i 258 . . . . . . . . . 10
35 prssi 3956 . . . . . . . . . 10
36 f1ss 5647 . . . . . . . . . 10
3734, 35, 36syl2an 465 . . . . . . . . 9
38 prex 4409 . . . . . . . . . 10
39 f1eq1 5637 . . . . . . . . . 10
4038, 39spcev 3045 . . . . . . . . 9
4137, 40syl 16 . . . . . . . 8
42 vex 2961 . . . . . . . . 9
4342brdom 7123 . . . . . . . 8
4441, 43sylibr 205 . . . . . . 7
4544expcom 426 . . . . . 6
4645rexlimivv 2837 . . . . 5
4710, 46syl5eqbr 4248 . . . 4
489, 47impbii 182 . . 3
496, 8, 483bitr2i 266 . 2
501, 3, 49vtoclbg 3014 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cun 3320   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cpr 3817  cop 3819   class class class wbr 4215   csuc 4586  com 4848  ccnv 4880   wfun 5451  wf 5453  wf1 5454  c1o 6720  c2o 6721   cdom 7110   csdm 7111 This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7318  frgpnabl  15491  isnzr2  16339 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-1o 6727  df-2o 6728  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115
 Copyright terms: Public domain W3C validator