MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom Unicode version

Theorem 1sdom 7065
Description: A set that strictly dominates ordinal 1 has at least 2 different members. (Closely related to 2dom 6933.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
1sdom  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem 1sdom
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( 1o  ~<  a  <->  1o  ~<  A ) )
2 rexeq 2737 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
32rexeqbi1dv 2745 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y )
)
4 1onn 6637 . . . 4  |-  1o  e.  om
5 sucdom 7058 . . . 4  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  ~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( 1o 
~<  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
7 df-2o 6480 . . . 4  |-  2o  =  suc  1o
87breq1i 4030 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  suc  1o  ~<_  a )
9 2dom 6933 . . . 4  |-  ( 2o  ~<_  a  ->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
10 df2o3 6492 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
11 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
13 0ex 4150 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
144elexi 2797 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  _V
1511, 12, 13, 14funpr 5302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  ->  Fun  {
<. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
16 df-ne 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
17 1n0 6494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =/=  (/)
1817necomi 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  =/=  1o
1913, 14, 11, 12fpr 5704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  =/=  1o  ->  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y } )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }
21 df-f1 5260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  ( { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } --> { x ,  y }  /\  Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } ) )
2220, 21mpbiran 884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  <->  Fun  `' { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } )
2313, 11cnvsn 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. }  =  { <. x ,  (/) >. }
2414, 12cnvsn 5155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <. 1o ,  y >. }  =  { <. y ,  1o >. }
2523, 24uneq12i 3327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
26 df-pr 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  =  ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
2726cnveqi 4856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )
28 cnvun 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( { <. (/) ,  x >. }  u.  { <. 1o , 
y >. } )  =  ( `' { <. (/)
,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y
>. } )
2927, 28eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  ( `' { <. (/) ,  x >. }  u.  `' { <. 1o ,  y >. } )
30 df-pr 3647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  =  ( { <. x ,  (/) >. }  u.  { <. y ,  1o >. } )
3125, 29, 303eqtr4i 2313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' { <.
(/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. }  =  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }
3231funeqi 5275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  `' { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } 
<->  Fun  { <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. } )
3322, 32bitr2i 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
{ <. x ,  (/) >. ,  <. y ,  1o >. }  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
3415, 16, 333imtr3i 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  y  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y } )
35 prssi 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  { x ,  y }  C_  a )
36 f1ss 5442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> { x ,  y }  /\  { x ,  y }  C_  a )  ->  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
3734, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
38 prex 4217 . . . . . . . . . 10  |-  { <. (/)
,  x >. ,  <. 1o ,  y >. }  e.  _V
39 f1eq1 5432 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  { <. (/) ,  x >. ,  <. 1o ,  y
>. }  ->  ( f : { (/) ,  1o } -1-1-> a  <->  { <. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a ) )
4038, 39spcev 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. (/) ,  x >. , 
<. 1o ,  y >. } : { (/) ,  1o } -1-1-> a  ->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4137, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  E. f  f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
42 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
4342brdom 6874 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) ,  1o }  ~<_  a  <->  E. f 
f : { (/) ,  1o } -1-1-> a )
4441, 43sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  x  =  y  /\  ( x  e.  a  /\  y  e.  a ) )  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a )
4544expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  a  /\  y  e.  a )  ->  ( -.  x  =  y  ->  { (/) ,  1o }  ~<_  a ) )
4645rexlimivv 2672 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  {
(/) ,  1o }  ~<_  a )
4710, 46syl5eqbr 4056 . . . 4  |-  ( E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y  ->  2o  ~<_  a )
489, 47impbii 180 . . 3  |-  ( 2o  ~<_  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
496, 8, 483bitr2i 264 . 2  |-  ( 1o 
~<  a  <->  E. x  e.  a  E. y  e.  a  -.  x  =  y )
501, 3, 49vtoclbg 2844 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ~<  A  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  -.  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   class class class wbr 4023   suc csuc 4394   omcom 4656   `'ccnv 4688   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  unxpdomlem3  7069  frgpnabl  15163  isnzr2  16015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator