MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Unicode version

Theorem 1sgm2ppw 20439
Description: The sum of the divisors of  2 ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
21a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3 2prm 12774 . . . 4  |-  2  e.  Prime
43a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  Prime )
5 nnm1nn0 10005 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6 sgmppw 20436 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  Prime  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 1  sigma  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^
k ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^
k ) )
8 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
9 cxp1 20018 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  1 )  =  2 )
108, 9mp1i 11 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
2  ^ c  1 )  =  2 )
1110oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( 2  ^ c 
1 ) ^ k
)  =  ( 2 ^ k ) )
1211sumeq2i 12172 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k
)
138a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
14 1ne2 9931 . . . . . 6  |-  1  =/=  2
1514necomi 2528 . . . . 5  |-  2  =/=  1
1615a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  1 )
17 nnnn0 9972 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1813, 16, 17geoser 12325 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
1912, 18syl5eq 2327 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^ k )  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N
) )  /  (
1  -  2 ) ) )
20 2nn 9877 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21 nnexpcl 11116 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
2220, 17, 21sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  NN )
2322nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  CC )
24 subcl 9051 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
2523, 1, 24sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ N
)  -  1 )  e.  CC )
26 ax-1ne0 8806 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2726a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =/=  0 )
2825, 2, 27div2negd 9551 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
29 negsubdi2 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ N )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N ) ) )
3023, 1, 29sylancl 643 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
31 df-neg 9040 . . . . . 6  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
32 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
33 pnpcan 9086 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 ) )
341, 32, 1, 33mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 )
351addid1i 8999 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
36 1p1e2 9840 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3735, 36oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 1  -  2 )
3831, 34, 373eqtr2i 2309 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
4030, 39oveq12d 5876 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
4125div1d 9528 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
4228, 40, 413eqtr3d 2323 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
437, 19, 423eqtrd 2319 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158   Primecprime 12758    ^ c ccxp 19913    sigma csgm 20333
This theorem is referenced by:  perfect1  20467  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-sgm 20339
  Copyright terms: Public domain W3C validator