MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Structured version   Unicode version

Theorem 1sgm2ppw 20989
Description: The sum of the divisors of  2 ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9053 . . . 4  |-  1  e.  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3 2prm 13100 . . . 4  |-  2  e.  Prime
43a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  Prime )
5 nnm1nn0 10266 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6 sgmppw 20986 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  Prime  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 1  sigma  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^
k ) )
72, 4, 5, 6syl3anc 1185 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^
k ) )
8 2cn 10075 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
9 cxp1 20567 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  ^ c  1 )  =  2 )
108, 9mp1i 12 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
2  ^ c  1 )  =  2 )
1110oveq1d 6099 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( 2  ^ c 
1 ) ^ k
)  =  ( 2 ^ k ) )
1211sumeq2i 12498 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k
)
138a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
14 1ne2 10192 . . . . . 6  |-  1  =/=  2
1514necomi 2688 . . . . 5  |-  2  =/=  1
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  1 )
17 nnnn0 10233 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1813, 16, 17geoser 12651 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
1912, 18syl5eq 2482 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^ c  1 ) ^ k )  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N
) )  /  (
1  -  2 ) ) )
20 2nn 10138 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
21 nnexpcl 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
2220, 17, 21sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  NN )
2322nncnd 10021 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  CC )
24 subcl 9310 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
2523, 1, 24sylancl 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ N
)  -  1 )  e.  CC )
26 ax-1ne0 9064 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =/=  0 )
2825, 2, 27div2negd 9810 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
29 negsubdi2 9365 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ N )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N ) ) )
3023, 1, 29sylancl 645 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
31 df-neg 9299 . . . . . 6  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
32 0cn 9089 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
33 pnpcan 9345 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 ) )
341, 32, 1, 33mp3an 1280 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 )
351addid1i 9258 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
36 1p1e2 10099 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3735, 36oveq12i 6096 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 1  -  2 )
3831, 34, 373eqtr2i 2464 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
4030, 39oveq12d 6102 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
4125div1d 9787 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
4228, 40, 413eqtr3d 2478 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
437, 19, 423eqtrd 2474 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ...cfz 11048   ^cexp 11387   sum_csu 12484   Primecprime 13084    ^ c ccxp 20458    sigma csgm 20883
This theorem is referenced by:  perfect1  21017  perfectlem1  21018  perfectlem2  21019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-pc 13216  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-cxp 20460  df-sgm 20889
  Copyright terms: Public domain W3C validator