MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Unicode version

Theorem 1st2nd2 6175
Description: Reconstruction of a member of a cross product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6167 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703   ` cfv 5271   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6176  xpopth  6177  eqop  6178  2nd1st  6181  1st2nd  6182  opiota  6306  disjen  7034  xpmapenlem  7044  mapunen  7046  r0weon  7656  enqbreq2  8560  nqereu  8569  lterpq  8610  elreal2  8770  cnref1o  10365  ruclem6  12529  ruclem8  12531  ruclem9  12532  ruclem12  12535  eucalgval  12768  eucalginv  12770  eucalglt  12771  eucalg  12773  qnumdenbi  12831  isstruct2  13173  xpsff1o  13486  comfffval2  13620  comfeq  13625  idfucl  13771  funcpropd  13790  coapm  13919  xpccatid  13978  1stfcl  13987  2ndfcl  13988  1st2ndprf  13996  xpcpropd  13998  evlfcl  14012  hofcl  14049  hofpropd  14057  yonedalem3  14070  gsum2d  15239  tx1cn  17319  tx2cn  17320  txdis  17342  txlly  17346  txnlly  17347  txhaus  17357  txkgen  17362  txcon  17399  imasdsf1olem  17953  cnheiborlem  18468  caublcls  18750  bcthlem1  18762  bcthlem2  18763  bcthlem4  18765  bcthlem5  18766  ovolfcl  18842  ovolfioo  18843  ovolficc  18844  ovolficcss  18845  ovolfsval  18846  ovolicc2lem1  18892  ovolicc2lem5  18896  ovolfs2  18942  uniiccdif  18949  uniioovol  18950  uniiccvol  18951  uniioombllem2a  18953  uniioombllem2  18954  uniioombllem3a  18955  uniioombllem3  18956  uniioombllem4  18957  uniioombllem5  18958  uniioombllem6  18959  dyadmbl  18971  fsumvma  20468  1stmbfm  23580  2ndmbfm  23581  txsconlem  23786  eloi  25189  issubcata  25949  morexcmp  26070  heiborlem8  26645  dvhgrp  31919  dvhlveclem  31920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-1st 6138  df-2nd 6139
  Copyright terms: Public domain W3C validator