MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Structured version   Unicode version

Theorem 1st2nd2 6378
Description: Reconstruction of a member of a cross product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6370 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4868   ` cfv 5446   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6379  xpopth  6380  eqop  6381  2nd1st  6384  1st2nd  6385  opiota  6527  disjen  7256  xpmapenlem  7266  mapunen  7268  r0weon  7886  enqbreq2  8789  nqereu  8798  lterpq  8839  elreal2  8999  cnref1o  10599  ruclem6  12826  ruclem8  12828  ruclem9  12829  ruclem12  12832  eucalgval  13065  eucalginv  13067  eucalglt  13068  eucalg  13070  qnumdenbi  13128  isstruct2  13470  xpsff1o  13785  comfffval2  13919  comfeq  13924  idfucl  14070  funcpropd  14089  coapm  14218  xpccatid  14277  1stfcl  14286  2ndfcl  14287  1st2ndprf  14295  xpcpropd  14297  evlfcl  14311  hofcl  14348  hofpropd  14356  yonedalem3  14369  gsum2d  15538  tx1cn  17633  tx2cn  17634  txdis  17656  txlly  17660  txnlly  17661  txhaus  17671  txkgen  17676  txcon  17713  utop3cls  18273  ucnima  18303  fmucndlem  18313  psmetxrge0  18336  imasdsf1olem  18395  cnheiborlem  18971  caublcls  19253  bcthlem1  19269  bcthlem2  19270  bcthlem4  19272  bcthlem5  19273  ovolfcl  19355  ovolfioo  19356  ovolficc  19357  ovolficcss  19358  ovolfsval  19359  ovolicc2lem1  19405  ovolicc2lem5  19409  ovolfs2  19455  uniiccdif  19462  uniioovol  19463  uniiccvol  19464  uniioombllem2a  19466  uniioombllem2  19467  uniioombllem3a  19468  uniioombllem3  19469  uniioombllem4  19470  uniioombllem5  19471  uniioombllem6  19472  dyadmbl  19484  fsumvma  20989  ofpreima  24073  1stmbfm  24602  2ndmbfm  24603  sibfof  24646  txsconlem  24919  mblfinlem  26234  ftc2nc  26279  heiborlem8  26518  dvhgrp  31842  dvhlveclem  31843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-1st 6341  df-2nd 6342
  Copyright terms: Public domain W3C validator