MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Unicode version

Theorem 1st2nd2 6159
Description: Reconstruction of a member of a cross product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6151 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643    X. cxp 4687   ` cfv 5255   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6160  xpopth  6161  eqop  6162  2nd1st  6165  1st2nd  6166  opiota  6290  disjen  7018  xpmapenlem  7028  mapunen  7030  r0weon  7640  enqbreq2  8544  nqereu  8553  lterpq  8594  elreal2  8754  cnref1o  10349  ruclem6  12513  ruclem8  12515  ruclem9  12516  ruclem12  12519  eucalgval  12752  eucalginv  12754  eucalglt  12755  eucalg  12757  qnumdenbi  12815  isstruct2  13157  xpsff1o  13470  comfffval2  13604  comfeq  13609  idfucl  13755  funcpropd  13774  coapm  13903  xpccatid  13962  1stfcl  13971  2ndfcl  13972  1st2ndprf  13980  xpcpropd  13982  evlfcl  13996  hofcl  14033  hofpropd  14041  yonedalem3  14054  gsum2d  15223  tx1cn  17303  tx2cn  17304  txdis  17326  txlly  17330  txnlly  17331  txhaus  17341  txkgen  17346  txcon  17383  imasdsf1olem  17937  cnheiborlem  18452  caublcls  18734  bcthlem1  18746  bcthlem2  18747  bcthlem4  18749  bcthlem5  18750  ovolfcl  18826  ovolfioo  18827  ovolficc  18828  ovolficcss  18829  ovolfsval  18830  ovolicc2lem1  18876  ovolicc2lem5  18880  ovolfs2  18926  uniiccdif  18933  uniioovol  18934  uniiccvol  18935  uniioombllem2a  18937  uniioombllem2  18938  uniioombllem3a  18939  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  uniioombllem5  18942  uniioombllem6  18943  dyadmbl  18955  fsumvma  20452  1stmbfm  23565  2ndmbfm  23566  txsconlem  23771  eloi  25086  issubcata  25846  morexcmp  25967  heiborlem8  26542  dvhgrp  31297  dvhlveclem  31298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123
  Copyright terms: Public domain W3C validator