MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1st2nd2 Unicode version

Theorem 1st2nd2 6326
Description: Reconstruction of a member of a cross product in terms of its ordered pair components. (Contributed by NM, 20-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
1st2nd2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )

Proof of Theorem 1st2nd2
StepHypRef Expression
1 elxp6 6318 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  /\  (
( 1st `  A
)  e.  B  /\  ( 2nd `  A )  e.  C ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  =  <. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3761    X. cxp 4817   ` cfv 5395   1stc1st 6287   2ndc2nd 6288
This theorem is referenced by:  1st2ndb  6327  xpopth  6328  eqop  6329  2nd1st  6332  1st2nd  6333  opiota  6472  disjen  7201  xpmapenlem  7211  mapunen  7213  r0weon  7828  enqbreq2  8731  nqereu  8740  lterpq  8781  elreal2  8941  cnref1o  10540  ruclem6  12762  ruclem8  12764  ruclem9  12765  ruclem12  12768  eucalgval  13001  eucalginv  13003  eucalglt  13004  eucalg  13006  qnumdenbi  13064  isstruct2  13406  xpsff1o  13721  comfffval2  13855  comfeq  13860  idfucl  14006  funcpropd  14025  coapm  14154  xpccatid  14213  1stfcl  14222  2ndfcl  14223  1st2ndprf  14231  xpcpropd  14233  evlfcl  14247  hofcl  14284  hofpropd  14292  yonedalem3  14305  gsum2d  15474  tx1cn  17563  tx2cn  17564  txdis  17586  txlly  17590  txnlly  17591  txhaus  17601  txkgen  17606  txcon  17643  utop3cls  18203  ucnima  18233  fmucndlem  18243  imasdsf1olem  18312  cnheiborlem  18851  caublcls  19133  bcthlem1  19147  bcthlem2  19148  bcthlem4  19150  bcthlem5  19151  ovolfcl  19231  ovolfioo  19232  ovolficc  19233  ovolficcss  19234  ovolfsval  19235  ovolicc2lem1  19281  ovolicc2lem5  19285  ovolfs2  19331  uniiccdif  19338  uniioovol  19339  uniiccvol  19340  uniioombllem2a  19342  uniioombllem2  19343  uniioombllem3a  19344  uniioombllem3  19345  uniioombllem4  19346  uniioombllem5  19347  uniioombllem6  19348  dyadmbl  19360  fsumvma  20865  1stmbfm  24405  2ndmbfm  24406  txsconlem  24707  heiborlem8  26219  dvhgrp  31223  dvhlveclem  31224
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fv 5403  df-1st 6289  df-2nd 6290
  Copyright terms: Public domain W3C validator