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Theorem 1stccn 17205
Description: A mapping  X --> Y, where  X is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence  f (
n ) converging to  x, its image under  F converges to  F ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccn.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
1stccn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    ph, f, x    f, K, x    f, X, x    f, Y, x

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cncnp 17025 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) ) )
5 1stccn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
65biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
74, 6bitr4d 247 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
8 1stccnp.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  1stc )
101adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
112adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
12 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
139, 10, 11, 121stccnp 17204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
145adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1514biantrurd 494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
1613, 15bitr4d 247 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
1716ralbidva 2572 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
18 ralcom4 2819 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )
19 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
2019ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  X  ( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
21 r19.21v 2643 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
f : NN --> X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
2220, 21bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
23 df-ral 2561 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
24 lmcl 17041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
251, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
2625ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  x  e.  X )
)
2726pm4.71rd 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  X  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
2827imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
29 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3028, 29syl6rbb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3130albidv 1615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  e.  X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
3223, 31syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3332imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3422, 33syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3534albidv 1615 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. f A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
3618, 35syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
377, 17, 363bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   NNcn 9762  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971   ~~> tclm 16972   1stcc1stc 17179
This theorem is referenced by:  metcn4  18752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-1stc 17181
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