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Theorem 1stccn 17526
Description: A mapping  X --> Y, where  X is first-countable, is continuous iff it is sequentially continuous, meaning that for any sequence  f (
n ) converging to  x, its image under  F converges to  F ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccn.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
1stccn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, J, x    ph, f, x    f, K, x    f, X, x    f, Y, x

Proof of Theorem 1stccn
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cncnp 17344 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
) ) )
5 1stccn.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
65biantrurd 495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
74, 6bitr4d 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) )
8 1stccnp.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  1stc )
101adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
112adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
12 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
139, 10, 11, 121stccnp 17525 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
145adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1514biantrurd 495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
1613, 15bitr4d 248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
1716ralbidva 2721 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
18 ralcom4 2974 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )
19 impexp 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
2019ralbii 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  X  ( f : NN --> X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
21 r19.21v 2793 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  (
f : NN --> X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
2220, 21bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
23 df-ral 2710 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
24 lmcl 17361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
251, 24sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
2625ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  x  e.  X )
)
2726pm4.71rd 617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  <->  ( x  e.  X  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
2827imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
29 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3028, 29syl6rbb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  ->  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3130albidv 1635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x ( x  e.  X  -> 
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) )
3223, 31syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. x ( f ( ~~> t `  J ) x  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) )
3332imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  ->  A. x  e.  X  ( f
( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3422, 33syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  A. x ( f ( ~~> t `  J
) x  ->  ( F  o.  f )
( ~~> t `  K
) ( F `  x ) ) ) ) )
3534albidv 1635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. f A. x  e.  X  (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
3618, 35syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
377, 17, 363bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   NNcn 10000  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288    CnP ccnp 17289   ~~> tclm 17290   1stcc1stc 17500
This theorem is referenced by:  metcn4  19263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-topgen 13667  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-1stc 17502
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