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Theorem 1stccnp 17405
 Description: A mapping is continuous at in a first-countable space iff it is sequentially continuous at , meaning that the image under of every sequence converging at converges to . This proof uses ax-cc 8208, but only via 1stcelcls 17404, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1
1stccnp.2 TopOn
1stccnp.3 TopOn
1stccnp.4
Assertion
Ref Expression
1stccnp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5 TopOn
2 1stccnp.3 . . . . 5 TopOn
31, 2jca 518 . . . 4 TopOn TopOn
4 cnpf2 17197 . . . . 5 TopOn TopOn
543expa 1152 . . . 4 TopOn TopOn
63, 5sylan 457 . . 3
7 simprr 733 . . . . . 6
8 simplr 731 . . . . . 6
97, 8lmcnp 17249 . . . . 5
109ex 423 . . . 4
1110alrimiv 1636 . . 3
126, 11jca 518 . 2
13 simprl 732 . . 3
14 fal 1327 . . . . . . . . 9
15 19.29 1601 . . . . . . . . . . . . . 14
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17 difss 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18 fss 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1916, 17, 18sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2119, 20jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 nnuz 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
23 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
24 1z 10204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
26 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
27 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2822, 23, 25, 26, 27lmcvg 17209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2922r19.2uz 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
31 ffn 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33 fvco2 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3432, 33sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3534eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3730, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
38 eldifi 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
40 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42 ffn 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
43 elpreima 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
45 eldifn 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4637, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4746pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4844, 47sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4939, 48mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5035, 49sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150rexlimdva 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5229, 51syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5328, 52mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5453expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5521, 54embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958exlimdv 1641 . . . . . . . . . . . . . 14
6015, 59syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13
6160exp4b 590 . . . . . . . . . . . 12
6261com23 72 . . . . . . . . . . 11
6362impr 602 . . . . . . . . . 10
6463imp 418 . . . . . . . . 9
6514, 64mtoi 169 . . . . . . . 8
66 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
681ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 TopOn
69 toponuni 16882 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . 10
7117, 70syl5sseq 3312 . . . . . . . . 9
72 eqid 2366 . . . . . . . . . 10
73721stcelcls 17404 . . . . . . . . 9
7467, 71, 73syl2anc 642 . . . . . . . 8
7565, 74mtbird 292 . . . . . . 7
76 topontop 16881 . . . . . . . . 9 TopOn
7768, 76syl 15 . . . . . . . 8
78 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
8079, 70eleqtrd 2442 . . . . . . . 8
8172elcls 17027 . . . . . . . 8
8277, 71, 80, 81syl3anc 1183 . . . . . . 7
8375, 82mtbid 291 . . . . . 6
8413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
85 ffun 5497 . . . . . . . . . . . . 13
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12
87 toponss 16884 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
8868, 87sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
89 fdm 5499 . . . . . . . . . . . . . 14
9084, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 90sseqtr4d 3301 . . . . . . . . . . . 12
92 funimass3 5748 . . . . . . . . . . . 12
9386, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
94 df-ss 3252 . . . . . . . . . . . . 13
9588, 94sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
9695sseq1d 3291 . . . . . . . . . . 11
9793, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . 10
98 nne 2533 . . . . . . . . . . 11
99 inssdif0 3610 . . . . . . . . . . 11
10098, 99bitr4i 243 . . . . . . . . . 10
10197, 100syl6bbr 254 . . . . . . . . 9
102101anbi2d 684 . . . . . . . 8
103102rexbidva 2645 . . . . . . 7
104 rexanali 2674 . . . . . . 7
105103, 104syl6bb 252 . . . . . 6
10683, 105mpbird 223 . . . . 5
107106expr 598 . . . 4
108107ralrimiva 2711 . . 3
109 iscnp 17184 . . . . 5 TopOn TopOn
1101, 2, 78, 109syl3anc 1183 . . . 4
111110adantr 451 . . 3
11213, 108, 111mpbir2and 888 . 2
11312, 112impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wfal 1322  wal 1545  wex 1546   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  wral 2628  wrex 2629   cdif 3235   cin 3237   wss 3238  c0 3543  cuni 3929   class class class wbr 4125  ccnv 4791   cdm 4792  cima 4795   ccom 4796   wfun 5352   wfn 5353  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981  c1 8885  cn 9893  cz 10175  cuz 10381  ctop 16848  TopOnctopon 16849  ccl 16972   ccnp 17172  clm 17173  c1stc 17380 This theorem is referenced by:  1stccn  17406  metcnp4  18950 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-top 16853  df-topon 16856  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-cnp 17175  df-lm 17176  df-1stc 17382
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