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Theorem 1stccnp 17188
Description: A mapping is continuous at  P in a first-countable space  X iff it is sequentially continuous at  P, meaning that the image under  F of every sequence converging at  P converges to  F ( P ). This proof uses ax-cc 8061, but only via 1stcelcls 17187, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccnp.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
1stccnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, J    ph, f    f, K   
f, X    f, Y    P, f

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
31, 2jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
4 cnpf2 16980 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
543expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
63, 5sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
7 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
8 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
97, 8lmcnp 17032 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
109ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( (
f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
1110alrimiv 1617 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
126, 11jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )
13 simprl 732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
14 fal 1313 . . . . . . . . 9  |-  -.  F.
15 19.29 1583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  E. f
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) ) )
17 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X 
\  ( `' F " u ) )  C_  X
18 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  X )  ->  f : NN --> X )
1916, 17, 18sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> X )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
2119, 20jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
22 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  u
)
24 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
26 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
27 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  u  e.  K )
2822, 23, 25, 26, 27lmcvg 16992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u )
2922r19.2uz 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F  o.  f ) `
 k )  e.  u  ->  E. k  e.  NN  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  u
)
30 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f : NN
--> ( X  \  ( `' F " u ) ) )
31 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  -> 
f  Fn  NN )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f  Fn  NN )
33 fvco2 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
3432, 33sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o.  f
) `  k )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
3534eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  <->  ( F `  ( f `  k
) )  e.  u
) )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  ( X 
\  ( `' F " u ) ) )
3730, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  ( X  \  ( `' F " u ) ) )
38 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f `  k )  e.  ( X  \ 
( `' F "
u ) )  -> 
( f `  k
)  e.  X )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  X )
40 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  F : X
--> Y )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : X --> Y )
42 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
43 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  X  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
45 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f `  k )  e.  ( X  \ 
( `' F "
u ) )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  ( `' F " u ) )
4637, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  ( `' F " u ) )
4746pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  ->  F.  ) )
4844, 47sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u )  ->  F.  ) )
4939, 48mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
f `  k )
)  e.  u  ->  F.  ) )
5035, 49sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
5150rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. k  e.  NN  (
( F  o.  f
) `  k )  e.  u  ->  F.  )
)
5229, 51syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
5328, 52mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  F.  )
5453expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P )  ->  F.  ) )
5521, 54embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
5655ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
)
5756com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
)
5857imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5958exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( E. f ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
6015, 59syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
6160exp4b 590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) ) )
6261com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u )  ->  ( E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
) )
6362impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) )
6463imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
6514, 64mtoi 169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
66 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  1stc )
681ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
69 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  X  =  U. J )
7117, 70syl5sseq 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( X  \ 
( `' F "
u ) )  C_  U. J )
72 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
73721stcelcls 17187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  <->  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7467, 71, 73syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7565, 74mtbird 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) ) )
76 topontop 16664 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
7768, 76syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  Top )
78 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  X
)
8079, 70eleqtrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  U. J )
8172elcls 16810 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
8277, 71, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
8375, 82mtbid 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
8413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  F : X
--> Y )
85 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  Fun  F )
87 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  v  e.  J )  ->  v  C_  X )
8868, 87sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  X )
89 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
9084, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  dom  F  =  X )
9188, 90sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  dom  F )
92 funimass3 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  v  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
v )  C_  u  <->  v 
C_  ( `' F " u ) ) )
9386, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
94 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  X  <->  ( v  i^i  X )  =  v )
9588, 94sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( v  i^i  X )  =  v )
9695sseq1d 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
v  i^i  X )  C_  ( `' F "
u )  <->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
9793, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  ( v  i^i  X
)  C_  ( `' F " u ) ) )
98 nne 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
99 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  i^i  X ) 
C_  ( `' F " u )  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
10098, 99bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i 
X )  C_  ( `' F " u ) )
10197, 100syl6bbr 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) )
102101anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  u )  <->  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
103102rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
104 rexanali 2589 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
105103, 104syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
10683, 105mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
107106expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
108107ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
109 iscnp 16967 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
1101, 2, 78, 109syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
111110adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
11213, 108, 111mpbir2and 888 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
11312, 112impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    F. wfal 1308   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755    CnP ccnp 16955   ~~> tclm 16956   1stcc1stc 17163
This theorem is referenced by:  1stccn  17189  metcnp4  18735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-1stc 17165
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