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Theorem 1stccnp 17482
Description: A mapping is continuous at  P in a first-countable space  X iff it is sequentially continuous at  P, meaning that the image under  F of every sequence converging at  P converges to  F ( P ). This proof uses ax-cc 8275, but only via 1stcelcls 17481, so it could be refactored into a proof that continuity and sequential continuity are the same in sequential spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stccnp.1  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
1stccnp.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stccnp.3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1stccnp.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
1stccnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, J    ph, f    f, K   
f, X    f, Y    P, f

Proof of Theorem 1stccnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stccnp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 1stccnp.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
31, 2jca 519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
) )
4 cnpf2 17272 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
543expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
63, 5sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
7 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  f ( ~~> t `  J ) P )
8 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
97, 8lmcnp 17326 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
109ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( (
f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
1110alrimiv 1638 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )
126, 11jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )
13 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F : X --> Y )
14 fal 1328 . . . . . . . . 9  |-  -.  F.
15 19.29 1603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  E. f
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) ) )
17 difss 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X 
\  ( `' F " u ) )  C_  X
18 fss 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  X )  ->  f : NN --> X )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f : NN --> X )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
f ( ~~> t `  J ) P )
2119, 20jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
22 nnuz 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  u
)
24 1z 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )
27 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  u  e.  K )
2822, 23, 25, 26, 27lmcvg 17284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u )
2922r19.2uz 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F  o.  f ) `
 k )  e.  u  ->  E. k  e.  NN  ( ( F  o.  f ) `  k )  e.  u
)
30 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f : NN
--> ( X  \  ( `' F " u ) ) )
31 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  -> 
f  Fn  NN )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  f  Fn  NN )
33 fvco2 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  k
)  =  ( F `
 ( f `  k ) ) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o.  f
) `  k )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
3534eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  <->  ( F `  ( f `  k
) )  e.  u
) )
3630ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  ( X  \  ( `' F " u ) ) )
3736eldifad 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  X )
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  F : X
--> Y )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : X --> Y )
40 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
41 elpreima 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  Fn  X  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  <-> 
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u ) ) )
4336eldifbd 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( f `  k
)  e.  ( `' F " u ) )
4443pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f `  k
)  e.  ( `' F " u )  ->  F.  ) )
4542, 44sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f `  k )  e.  X  /\  ( F `  (
f `  k )
)  e.  u )  ->  F.  ) )
4637, 45mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  (
f `  k )
)  e.  u  ->  F.  ) )
4735, 46sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
4847rexlimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. k  e.  NN  (
( F  o.  f
) `  k )  e.  u  ->  F.  )
)
4929, 48syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F  o.  f ) `  k
)  e.  u  ->  F.  ) )
5028, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  /\  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) )  ->  F.  )
5150expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P )  ->  F.  ) )
5221, 51embantd 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  u ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  -> 
( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
5352ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  F.  ) )
)
5453com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
)
5554imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( (
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5655exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( E. f ( ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5715, 56syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u ) )  ->  ( ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  /\  E. f ( f : NN --> ( X 
\  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )  ->  F.  )
)
5857exp4b 591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( A. f
( ( f : NN --> X  /\  f
( ~~> t `  J
) P )  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) ) )
5958com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) )  ->  ( ( u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u )  ->  ( E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
) )
6059impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  (
( u  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) ) )
6160imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  F.  ) )
6214, 61mtoi 171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) )
63 1stccnp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  1stc )
651ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
66 toponuni 16951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  X  =  U. J )
6817, 67syl5sseq 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( X  \ 
( `' F "
u ) )  C_  U. J )
69 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
70691stcelcls 17481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  <->  E. f
( f : NN --> ( X  \  ( `' F " u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7164, 68, 70syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  E. f ( f : NN --> ( X  \ 
( `' F "
u ) )  /\  f ( ~~> t `  J ) P ) ) )
7262, 71mtbird 293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) ) )
73 topontop 16950 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
7465, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  J  e.  Top )
75 1stccnp.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  X
)
7776, 67eleqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  P  e.  U. J )
7869elcls 17096 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  ( `' F " u ) )  C_  U. J  /\  P  e.  U. J )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
7974, 68, 77, 78syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  <->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
8072, 79mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
8113ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  F : X
--> Y )
82 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  Fun  F )
84 toponss 16953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  v  e.  J )  ->  v  C_  X )
8565, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  X )
86 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
8781, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  dom  F  =  X )
8885, 87sseqtr4d 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  v  C_  dom  F )
89 funimass3 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  v  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
v )  C_  u  <->  v 
C_  ( `' F " u ) ) )
9083, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
91 df-ss 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  X  <->  ( v  i^i  X )  =  v )
9285, 91sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( v  i^i  X )  =  v )
9392sseq1d 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
v  i^i  X )  C_  ( `' F "
u )  <->  v  C_  ( `' F " u ) ) )
9490, 93bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  ( v  i^i  X
)  C_  ( `' F " u ) ) )
95 nne 2575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
96 inssdif0 3659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  i^i  X ) 
C_  ( `' F " u )  <->  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =  (/) )
9795, 96bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/)  <->  ( v  i^i 
X )  C_  ( `' F " u ) )
9894, 97syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( F " v )  C_  u 
<->  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) ) )
9998anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  u )  <->  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
10099rexbidva 2687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  (
v  i^i  ( X  \  ( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
101 rexanali 2716 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  -.  ( v  i^i  ( X  \  ( `' F " u ) ) )  =/=  (/) )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) )
102100, 101syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u )  <->  -.  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  ( v  i^i  ( X  \ 
( `' F "
u ) ) )  =/=  (/) ) ) )
10380, 102mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  (
u  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
104103expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  /\  u  e.  K )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
105104ralrimiva 2753 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  A. u  e.  K  ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
106 iscnp 17259 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
1071, 2, 75, 106syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
108107adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  K  (
( F `  P
)  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
10913, 105, 108mpbir2and 889 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
11012, 109impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    F. wfal 1323   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671    \ cdif 3281    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   U.cuni 3979   class class class wbr 4176   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   "cima 4844    o. ccom 4845   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1c1 8951   NNcn 9960   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   clsccl 17041    CnP ccnp 17247   ~~> tclm 17248   1stcc1stc 17457
This theorem is referenced by:  1stccn  17483  metcnp4  19219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-top 16922  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-cnp 17250  df-lm 17251  df-1stc 17459
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